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duit à des théorèmes relatifs aux surfaces du second degré, 

 et présentant avec les théorèmes de Poncelet les plus grandes 

 analogies au ponit de vue géométrique et analytique. 



Théorème l. Si l'on cherche le polygone de périmètre 

 maximum inscrit dans un ellipsoïde A, ce polygone ne peut 

 être en général un polj'gone plan, inscrit dans une section 

 principale de l'ellipsoïde. 



Ce polygone n'est pas déterminé, il y a une infinité de 

 polygones isopérimètres pouvant avoir un de leurs sommets 

 en un point quelconque de l'ehipsoïde et qui ont leur péri- 

 mètre plus grand que celui de tout autre périmètre inscrit. 



Un rayon lumineux qui se réfléchirait à l'intérieur de 

 l'ellipsoïde décrira ces polygones s'il est d'abord dirigé sui- 

 vant le premier côté. 



Tous les polygones sont circonscrits[ï) à deux surfaces 

 Al ,A2 homofocales à la première. 



Théorème IL Etant données deux surfaces B, Bj et d'autres 

 surfaces Aj ,A2, A?, on ne peut pas, en général, circonscrire 

 aux deux surfaces B, B^ simultanément un polygone de m 

 côtés dont les sommets soient les surfaces Aj ,K^,. . . ,Âjn. 



S'il y a un polygone jouissant de cette propriété, il y en 

 aura une infinité d'autres. 



On reconnait facilement l'analogie de ce théorème avec 

 les théorèmes relatifs à l'ellipse. Si on effectue une transfor- 

 mation homographique, on obtient la généralisation annoncée 

 du théorème de Poncelet. 



Théorème III. Si l'on cherche le polygone de périmètre 

 minimum circonscrit à un ellipsoïde, on trouve que ce 

 polygone n'est pas circonscrit à une section principale. 



Il n'est pas déterminé, comme dans les théorèmes précé- 

 dents, il y a une infinité de polygones isopérimètres satis- 

 faisant à la condition énoncée. 



Tous ces polygones sont inscrits à une deuxième surface 

 et circonscrits à une troisième surface, homofocale à la pre- 

 mière. 



(1) Nous disons qu'un polygone est circonscrit à une surface 

 quand ses côtés sont tangents à la surface. Ici, les côtés du poly- 

 gone sont donc tangents à la fois à B et à Bj. 



