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9. — Je reviens maintenant au mode de description des 

 surfaces anallagmatiques à plan de symétrie, donné au § 7, 

 pour montrer comment il s'applique aux surfaces du second 

 ordre. Ces dernières s'obtiennent lorsque la locale, qui, en 

 général, est une courbe anallagmatique plane, se réduit à 

 une conique. Soit donc une conique quelconque G réelle 

 (ou du moins ayant une équation réelle) et a, a, deux 

 points fixes pris sur celte conique. Par ces deux points, 

 menons un cercle quelconque coupant la conique en a et en a ; 

 d'après ce qui a été dit ci-dessus, le lieu des cercles tels 

 que (a, a') est une surface du second ordre ayant pour 

 focale C. D'après un théorème élémentaire bien connu, toutes 

 les droites telles que a a' ont une direction fixe. On peut 

 donc énoncer la proposition suivante qu'il serait très-simple, 

 d'ailleurs, d'établir directement : 



« Si l'on mène, dans le plan d'une conique^ une série de 

 droites parallèles à une direction fixe D, en désignant par a et a' 

 les deux points d'intersection de la conique avec une quel- 

 conque de ces droites, le lieu des cercles, tels/|ue {a, a) est 

 une surface du second ordre ayant pour focale la conique 

 donnée. » 



Supposons que G soit une ellipse; imaginons toutes les 

 droites réelles parallèles à une droite fixe D et extérieures à 

 l'ellipse ; chacune de ces droites rencontre l'ellipse en deux 

 points imaginairement conjugués, représentés par un cercle 

 réel ; tous les cercles réels ainsi obtenus, quand la droite se 

 déplace, constituent l'un des systèmes de sections circulaires 

 d'un hyperboloïde à deux nappes ayant pour focale l'ellipse 

 donnée. Si le système des droites considéré était parallèle à 

 une droite D' faisant avec le grand axe de l'ellipse un angle 

 supplémentaire de l'angle que fait D avec ce même axe, les 

 cercles représentatifs des points d'intersection de l'ellipse 

 avec ces diverses droites constitueraient le second système 

 de sections circulaires de l'hyperboloïde mentionné ci-dessus. 



Si nous imaginons l'infinité d'hyperboloïdes à deux nap- 

 pes, qui ont pour focale l'ellipse G, leurs diverses sections 

 circulaires représenteront tous les points imaginaires situés 

 sur cette ellipse. D'où l'on peut conclure le théorème sui- 

 vant: 



« Pour qu'un cercle réel, donné dans l'espace, représente 



