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Réciproquement, étant donnée une surface quelconque à 

 génératrices circulaires, on peut toujours la considérer 

 comme une surface dérivée d'une certaine courbe gauche G. 

 En désignant par C, G', G" etc., les diverses génératrices 

 circulaires de la surface, cette courbe est le lieu des points 

 (G), (G'), (G"), etc. ; et la surface régi éeV^ qui détermine le mode 

 de groupement des points de la courbe, est le lieu des axes 

 des différents cercles. 



43. — Parmi l'infinité de surfaces dérivées d'une courbe 

 gauche G, se trouve en particulier la développable isotrope, 

 circonscrite à cette courbe ; j'entends par là , la surface 

 développable circonscrite à la fois à l'ombilicale et à la courbe 

 donnée. Tous les plans qui lui sont tangents sont, par con- 

 séquent, des plans isotropes, et ses génératrices, comme 

 nous allons le voir, sont des droites isotropes. 



Soit m un point quelconque de G; pour construire les 

 génératrices de la surface développable isotrope qui passent en 

 ce point, menons la tangente à la courbe en m, et soit t le 

 point où cette tangente perce le plan de l'infini. Menons par 

 t les deux tangentes à l'ombilicale Q et soient a et 6 leurs 

 points de contact. Les plans tma et tmb sont deux plans 

 isotropes tangents à la courbe G et les génératrices corres- 

 pondantes de la développable sont les droites isotropes ma 

 et mb. Remarquons maintenant que la droite ab étant la 

 polaire du point t par rapport à l'ombilicale, le plan»2&a 

 est perpendiculaire à la tangente m t ; les génératrices de 

 la développable, qui passent au point m, sont donc les deux 

 droites isotropes passant par ce point dans le plan normal 

 à la courbe. 



J'imagine maintenant une droite passant par le point m 

 et par île point m', pris sur la courbe G, à une distance 

 infiniment petite de m. Les cônes isotropes ayant ces deux 

 points pour sommets se coupent suivant un cercle, dont le 

 plan, perpendiculaire à 7nm\ passe par le milieu de ce seg- 

 ment; et dont le rayon, égal à 7nm', i est par conséquent 

 infiniment petit. Le point m' venant à se confondre avec le 

 point m, le plan du cercle d'intersection devient normal à 

 la courbe au point m, le rayon de ce cercle devient nul et 

 ce cercle se réduit à deux droites isotropes. Donc, quand une 

 droite est tangente à une courbe gauche, le cercle, corres- 



