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G et G' et portons deux longueurs N et N + fZN sur les 

 normales à (A) menées par ces deux points ; soient N et N' 

 les extrémités de ces segments ; si l'on projette NiN' sur la 

 corde AA', la projection nn' est en général du second ordre, 

 mais si elle est supérieure au second ordre, elle est forcé- 

 ment du quatrième. Tel est le théorème de M. Laguerre. 



Pour que ce cas se présente, il faut que la longueur N 

 satisfasse à une équation différentielle, donnée aussi par 

 M. Laguerre, qui montre qu'en général N est une fonction 

 de point et de direction; sur les surfaces du second degré, 

 N est simplement fonction de point, et cela permet d'inté- 

 grer l'équation des lignes géodésiques, des lignes de courbu- 

 re de ces surfaces. 



Il était donc intéressant de chercher s'il n'y avait point 

 d'autres surfaces que celles du second degré pour lesquelles 

 N fût une fonction de point. La formule de M. Laguerre, 

 combinée avec celles de Godazzi, montre que : 



Si N est fonction de point, les asymptotiques de (A) sont des 

 droites, ou encore : 



Si N est fonction de point, le long d'une ligne de courbure, 

 le rayon de courbure principal correspondant est proportion- 

 nel au cube de l'autre rayon de courbure pHncipal. 



Ges deux propriétés caractérisent chacune les surfaces du 

 second degré; il n'y a donc que pour ces surfaces que N 

 soit fonction de point. 



Les formules qui établissent ce résultat paraissent fort 

 utiles dans l'étude des surfaces du second ordre; en parti- 

 culier, elles donnent immédiatement la solution de cette 

 question : 



A quelles 7-elations satisfont les éléments géométriques 

 d'une coiirbe gauche, lorsque celle-ci est située sur une sur- 

 face du second ordre ? 



Mais, pour revenir au cas général, si (A) est une sur- 

 face quelconque, N n'est fonction de point que suivant trois 

 familles de courbes. Je donnerai simplement ici les résultats 

 relatifs au cas où N est constant. 



J'ai cherché à déterminer les courbes le long desquelles 

 la fonction N ne varie point ; il est facile de voir que les 

 sections normales de (A) tangentes à ces courbes sont sur- 

 osculées par des cercles; nous retombons donc sur des 



