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courbes intéressantes étudiées par M. de la Gournerie 

 {Journal de Liouville 1855); nous les désignerons sous le 

 nom de lignes (N). 



Sur une surface du second degré, les lignes (N) sont les 

 asymptotiques et les polhdies, comme l'a fait voir M. de 

 la Gournerie. 



Si (A) est une cyclide, les lignes (N) se composent d'a- 

 bord des deux systèmes de lignes de courbure, et d'une 

 troisième famille que l'on peut déterminer complètement 

 analytiquement, et qui, au point de vue géométrique, est 

 définie par la propriété suivante : 



Suivant une trajectoire orthogonale quelconque de ces 

 cou7'bes, la différence des inverses des rayons de courbure 

 'principaux est constante. 



Si (Â) est une surface à courbure moyenne constante, les 

 lignes (N) se coupent entre elles sous des angles de 120° ; 

 cette propriété est caractéristique des surfaces considérées . 



J'ai cherché s'il était possible de trouver des surfaces au- 

 tres que celles du second degré pour lesquelles les extrémités 

 des segments N puissent être considérées comme situées 

 dans un plan, le long des lignes d'une même famille ; j'ai 

 trouvé que si Von se donne la courbe plane correspondant à 

 l'une des lignes (N), toutes les autres sont déterminées ; si 

 cette courbe est une conique^ les autres sont aussi des coni- 

 ques, ayant même centre et même direction d'axes. 



Les lignes (N) jouissent d'une propriété fort remarquable 

 qui leur font jouer dans le troisième ordre un rôle analogue 

 à celui des lignes de courbure dans le second ordre; cette 

 propriété s'exprime ainsi : 



La normalie le long d'une ligne (N) rencontre une surface 

 parallèle à (A) suivant une de ces lignes (N) . 



Il en résulte, si l'on veut, une propriété commune aux 

 trajectoires orthogonales des génératrices de la normalie 

 suivant une ligne (N), ou une propriété de la ligne de 

 striction de cette suriace gauche ; en effet, on a 



2 tg 6 + f = 



CtO) 



où 6 désigne l'angle de la génératrice et de la ligne de 



