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Sur la théorie des surfaces, par M. A. Ribaucourt. 



J'ai montré à la Société, il y a deux ans, que les normales 

 d'une surface peuvent toujours être considérées comme les 

 cordes de contact d'une famille de sphères ayant leurs cen- 

 tres sur une sphère donnée. En partant de ce fait, j'ai été 

 conduit à prendre pour coordonnées tangentielles d'une sur- 

 face, la distance p d'une origine du plan tangent, et les 

 coordonnées sphériques u et v du point oii la perpendicu- 

 laire au plan tangent rencontre la sphère de rayon unité 

 dont le centre est 0. 



Si l'on veut chercher les surfaces ayant pour image 

 sphérique de leurs lignes de courbure un réseau pour lequel 



ds^ =p dvP- -f g^ dv\ 



il faut intégrer l'équation : 



d^ p _dp i df dp l dg 

 du dv~ du^f dv dv g du 



La forme seule de cette équation conduit à des propriétés 

 des surfaces considérées, propriétés que j'ai indiquées dans 

 une note insérée aux Comptes-Rendus, le 28 décembre 

 1868, et que M. Darboux a reproduite Hoc. cit.) le l^"" fé- 

 vrier 1869. 



J'attirerai spécialement l'attention sur les formules aux- 

 quelles je suis arrivé en prenant pour coordonnées sphéri- 

 ques les paramètres x ei y des génératrices imaginaires de 

 la sphère ; on sait que le ds'*- de la sphère peut s'écrire : 



ds'*- = V' dx dy . 



Le X contenant deux fonctions arbitraires, l'une de x et 

 l'autre de y, une surface quelconque sera, dans ce système, 

 déterminée par une équation entre p, x et y, l'équation 

 différentielle des lignes de courbure peut s'écrire: 



