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forme la plus simple que l'on connaisse, et qui permet de 

 construire de toutes pièces une infinité de surfaces avec 

 leurs lignes de courbure. Mais si l'on compare cette équa- 

 tion à celle qui donne les lignes de courbure d'une surface 

 en fonction des paramètres x et y de ses lignes isotropes et 

 de la distance s à un plan fixe, on voit qu'elle n'en diffère 

 que par le changement de z en p. Il en résulte ce théorème : 



Prenez une surface (A) applicable sur une sphère et tracez 

 ses lignes de courbure (u) et (v) ; appelez p la distance d'un 

 point w,v de cette surface à un plan fixe. Déformez (A), de 

 manière qu'elle devienne une sphère, les lignes [u] et [v), 

 entraînées, sont les images sphériques des lignes de courbure 

 de la surface dont chaque plan tangent est défini dans notre 

 système par les coordonnées u, v et p. 



L'équation des lignes asymptotiques est: 



Voulez-vous qu'elles soient rectangulaires? il faut que: 



dxdy ^-"S ' 



ce qui est l'équation différentielle des surfaces à étendue 

 minima. Cette équation rentre dans un type complètement 

 intégré par M. Moutard et son intégrale générale est : 



011 X et Y sont des fonctions arbitraires de x et y, X' et Y' 

 leurs dérivées. Le ds"- d'une surface quelconque en fonction 

 de X, y etp a. la forme suivante : 



4X2 -»^ ^yiy -^2 • ^ixd,j <il^\dx [xUlxl dy \\' dyj] 



