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divisible par 8, est égal à la somme d'un carré et du double 

 d'un carré. Mais je ne sache pas qu'on soit allé au-delà. 



Le but de cette noie est d'indiquer combien sont plus 

 étendues les propositions de cet ordre ; et il me suffira, 

 pour faire apprécier l'utilité de ces propositions, de dire 

 qu'elles sont d'un très-grand secours pour résoudre en 

 nombres entiers les congruences de la forme œe = p (mod p) 

 le reste p étant quelconque. 



Je ne saurais dans cette note entrer dans le détail des 

 démonstrations des faits que je veux faire connaître, je me 

 borne à présenter ici l'énoncé des théorèmes, me réservant 

 d'en exposer plus tard la justification. 



Théorème P''. Celui-ci est connu depuis longtemps. Je le 

 rappelle pour mémoire et afin de compléter l'ensemble des 

 faits de cet ordre. 



Il consiste en ce que tout nombre premier qui, diminué 

 d'une unité, est divisible par 4, est égal à la somme de deux 

 carrés. 



Théorème II. Celui-ci est encore connu, il consiste en ce 

 que tout nombre premier qui, diminué de une ou de trois 

 unités, est divisible par 8, est égal à la somme d'un carré 

 et du double d'un carré. 



Théorème III. Tout nombre premier qui, augmenté ou 

 diminué d'une unité, est divisible par 8, est égal à la diffé- 

 rence d'un carré et du double d'un carré. 



Il résulte de la combinaison de ces propriétés que les 

 nombres premiers de l'espèce particulière 8 iV + 1 revêtent 

 les quatre formes 



tt'^4.6^ «'^+262, 2^2—62, «2—262. 



Je passe aux propositions analogues pour le multiple 3. 



Théorème IV. Tout nombre premier qui, diminué d'une 

 unité, est divisible par 3, est égal à la somme d'un carré et 

 du triple d'un carré. 



Théorème V. Tout nombre premier qui, augmenté d'une 

 unité, est divisible par 3, est égal à la différence d'un 

 carré et du triple d'un carré. 



Ces deux théorèmes comprennent tout ce qui concerne le 

 facteur 3 puisque, par rapport à ce facteur, les nombres pre- 



