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Soient, sur une sphère réelle (ou du moins dont l'équation 

 est réelle), deux points M et M' imaginairement conjugués; 

 par le point M passent deux génératrices G et H de la sur- 

 face (ce sont des droites isotropes), par le point M' passent 

 deux génératrices G' et H', imaginairement conjuguées des 

 premières. 



Toutes les surfaces anallagmatiques, ayant pour focale l'en- 

 semble des quatre droites G, H, G' et H', sont des cyclides 

 homofocales. 



A cette focale se rattache un groupe de sections circu- 

 laires (1) qui se subdivise lui-même en un groupe (G) repré- 

 sentant les divers points des droites G et G' et en un groupe 

 (H) représentant les points des droites H et H'. 



D'un théorème général donné dans ma note sur l'emploi 

 des imaginaires clans la géométrie de f espace, on peut dé- 

 duire la proposition suivante qui s'accorde avec ce que j'ai 

 dit dans le paragraphe précédent : 



« Etant pris un cercle quelconque du groupe (G) eL un 

 cercle quelconque du groupe (H), les deux cônes, qui passent 

 par ces deux cercles, ont respectivement leurs sommets sur 

 les axes F et F'. » 



Les cercles des groupes (G) et (H) sont ceux suivant les- 

 quels la surface est coupée par ses plans bitangents. 



On peut remarquer que les axes de la surface sont la 

 droite M M' et la polaire de cette droite relativement à la 

 sphère qui contient les droites isotropes qui constituent la 

 focale. 



II 



4. Ce qui précède conduit à un nouveau mode 

 d'étudier la cyclide. Mais avant d'aborder ce sujet, je crois 

 devoir rappeler quelques-uns des résultats obtenus dans la 

 note déjà citée sur l'emploi des imaginaires dans la 



(1) Voir dans flnstitut et dans le Bulletin de la Société Philo- 

 mathique, avril 1870, ma noti3: Sur l'emploi des imaginaires dans 

 la géométrie de l'espace. 



