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En effet, soit T une génératrice commune à R et R' et M 

 un point quelconque du cercle correspondant, qui est com- 

 mun à S et à S'. Le cône isotrope ayant pour sommet le 

 point M coupe la sphère, sur laquelle est située K, suivant 

 un plan passant par T; soient ^ et [i' les points où ce plan 

 touche respectivement les surfaces R et R'; d'après une pro- 

 priété très-simple que j'ai communiquée déjà depuis long- 

 temps à la Société, M ^ et M [3' sont les normales menées 

 par le point M à S et à S'. 



Quand deux surfaces réglées ont une génératrice commune, 

 tout plan passant par cette droite touche les deux surfaces en 

 deux points qui, lorsque le plan se déplace, déterminent sur 

 la droite une division homographique. Dans le cas actuel, 

 on voit immédiatement que les deux points doubles de cette 

 division sont les points a et a! où T s'appuie sur K; d'après 

 une proposition élémentaire bien connue, on en conclut que 

 le rapport anharmonique des quatres points ce, a!; ^ et ^ est 

 Constant. 



Menons maintenant les droites M a, M a', M [S et M p'; le 

 rapport anharmonique du faisceau est aussi constant, et, 

 comme les droites M a et M a! sont isotropes, il en résulte 

 que l'angle [i M [i' est constant. 



6. De la proposition précédente, relative aux surfaces dé- 

 rivées d'une même courbe spliérique, découlent quelques 

 conséquences dignes d'intérêt. 



Supposons que K soit une biquadratique sphérique, que R. 

 soit une surface de second degré et R' une quadricuspidale 

 ayant pour base K. 



La surface dérivée S est alors une anallagmatique ayant K 

 pour focale ; S' la coupe suivant quatre cercles correspon- 

 dant aux quatre génératrices communes à R et R'. On voit 

 immédiatement que le long de chacun de ces cercles les 

 deux surfaces se coupent orthogonalement. 



En effet, dans ma note sur un problème de géométrie re- 

 latif aux courbes gauches du quatrième ordre insérée dans le 

 Journal de Liouville (1870), j'ai démontré le théorème sui- 

 vant : 



« Etant donnée une quadricuspidale ayant pour base la 

 courbe K et une génératrice aoc' de cette surface (a et a' 

 désignant les points où la génératrice s'appuie sur R), si l'on 



