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A, la normale B issue du point b. Tout plan sécant mené 

 par l'un des centres de courbure principaux aj, coupera ces 

 normalies suivant des courbes tangentes entre elles au point 

 ai, et passant toutes par le point où le plan sécant coupe B. 

 Lorsque b est infiniment voisin de a, ce point de rencontre 

 est infiniment voisin de a^, c'est-à-dire que ces courbes sont 

 alors osculatrices entre elles. Le plan sécant mené par a^, 

 étant arbitraire nous pouvons dire aussi qu'en ce point les 

 normalies sont osculatrices entre elles. Ceci est vrai pour 

 l'autre centre de courbure aj. Nous pouvons donc dire : 



Lorsque des courbes tracées sur une surface (A) sont tan- 

 gentes entre elles en un point A, les normalies dont elles sont 

 les directrices sont osculatrices entre elles aux centres de cour- 

 bure principaux situés sur la normale A. 



Partant de ce résultat et supposant que les courbes 

 directrices ont en outre un nouveau point commun infini- 

 ment voisin, c'est-à-dire qu'elles sont osculatrices, on 

 verra de même que toutes les sections faites dans les nor- 

 malies correspondantes par des plans passant par les centres 

 de courbure aj ou aj, ont en commun quatre points infi- 

 niment voisins, c'est-à-dire un point de plus que le nombre 

 des points communs aux courbes directrices. 



Cette démonstration s'étend de la même manière au cas 

 où les courbes directrices ont en commun un nombre quel- 

 conque de points infiniment voisins ; le théorème de M. Bon- 

 net se trouve démontré. 



La marche que je viens de suivre permet de généraliser 

 le théorème suivant : 



Deux surfaces gauches qui ont une génératrice commune 

 se touchent en deux points de cette droite; on est alors con- 

 duit à ce théorème : 



Lorsque deux surfaces gauches ont le long d'une génératrice 

 un contact de l'ordre n, il y a deux points de cette droite pour 

 lesquels le contact est de l'ordre n -{- 1- 



Comme cas particulier on a le théorème suivant que M. de 

 laGournerie a donné dans son Traité de géométrie descriptive: 



Quand deux surfaces gauches se raccordent le long d'une 

 génératrice, elles se coupent, en général, suivant une courbe 

 qui rencontre la droite de contact en deux points; les surfaces 

 sont osculatrices en ces points. 



