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Supposons D°cr connu dans son expression la plus géné- 

 rale. Un raisonnement très-simple montre qu'en y faisant : 



w= — 1, — 2, — 3, 



on obtient l'expression générale des primitives première, 



deuxième, troisième, de a. 



Une analyse très-facile conduit au théorème suivant : 

 Théorème. Tous les w°^ coefficients différentiels dévelop- 



pabtes en série, suivant les puissances entières et positives de la 



variable, sont de la forme : 



(2) /(n)+|/-(n + l)+^/'(n-f2)+ 



et toute expression de cette forme est un n^ coefficient diffé- 

 rentiel. 



Si l'on veut que cette expression représente en particu- 

 lier lesn^s coefficients différentiels de 9 [x], il faut assujettir 

 f ( ) aux conditions suivantes : 



/'(0) = ?(0), 



(1) {^(•2) = cp"(0), 



Supposons ces conditions satisfaites dans toute leur géné- 

 ralité, et faisons 



nz=. — 1 , 



L'expression (2) devient : 



/'(-l) + yr(0) + 3^^1)4- 



C'est bien la primitive de cp {x). Et la constante arbitraire 

 n'est autre que /"( — 1), puisque les équations de condition 

 (1) ne donnent pas f ( — 1). 



IL 



Théorème. Si en prenant indéfiniment les dérivées succès- 



