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Deux opérations sont commufatwes entre elles lorsqu'on a : 



DD'w = D'Dm, 

 quel que soit u. 



Il est à observer qu'une opération n'affecte une quantité 

 qu'autant que celle-ci est ou peut être fonction de telles va- 

 riables. Ainsi, la différentiation par rapport à x^ aff'ecte 

 les quantités dépendant de x ou pouvant en dépendre. Je 

 dis alors que la dérivation s'effectue par rapport à ces va- 

 riables sans lesquelles, du reste, l'opération n'aurait aucun 

 sens. 



Voici un théorème que malheureusement je ne sais dé- 

 montrer que dans le cas où la fonction soumise aux opéra- 

 tions est développable suivant la formule de Taylor. 



Théorème. Si deux opérations s'' effectuent par rapport à 

 des groupes de variables tout à fait distincts, en sorte qu'au- 

 cune variable contenue dans le premier groupe ne figut^e dans 

 le second, si, en outre, ces deux opérations sont distributives^ 

 elles sont par cela même commutatives entité elles. 



Soient x, y, z, les variables par rapport auxquelles 



s'effectue la dérivation enJ) ; x', y', z', , les variables 



par rapport auxquelles s'effectue la dérivation en D'. Si la 

 fonction cp est développable selon la formule de Taylor, on 

 peut la mettre sous la forme 



^M{x—a)^{y — b)P{z—c)'( {x'—aY{y — àf\z'—c')-r' 



le 2 embrassant une suite indéfinie de termes. De là, on 

 tire : 



■D^=:I.M.-d[{x— af {y— bf{z—c)'^. .'jxix'— a' f {y'— b'f.. 



puis : 



D'Dcp = 2MD ^{x-~af{y -- bf.. ] xD' ^{x'—a'/iy — à)'^'..] 



en tenant compte de ce que les deux opérations sont distri- 



butives et de ce que D (^ — ^)°'(y — ^) ^^ contient 



aucune des variablesa?',^',...,, tandis que (a;' — a')^ {y' — b')P 



