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nature de celles que M. Lie a appelées transformaiions de 

 contact, à cause de la propriété qu'elles possèdent de con- 

 server, dans les figures auxquelles on les applique, tous les 

 contacts au-dessous d'un certain ordre; nous ne nous occu- 

 perons que des transformations qui conservent les contacts 

 du premier ordre. Une pareille transformation étant ap- 

 pliquée aux courbes d'un système général (fA, v), dépourvu 

 de singularités, nous chercherons à déterminer les caracté- 

 ristiques du système transformé en fonction des caractéris- 

 tiques du système primitif. Par suite du rapprochement que 

 nous avons établi entre les systèmes de courbes et les équa- 

 tions différentielles, cette question de géométrie se trouve 

 intimement liée au problème du changement des variables 

 dans une équation différentielle. 



III. — La solution cherchée est une conséquence du théo- 

 rème suivant, dû à M. Chasles pour le cas des systèmes de 

 courbes algébriques, et étendu par nous au cas des systèmes 

 généraux de courbes quelconques : 



Théorème. — Le nombre des points de contact des 

 courbes d'un système (p.; v) avec une courbe algébrique 

 quelconque du m^^'^^ degré et de la ij^ème classe, est égal à 

 nii -\- ffiv (1), 



Ce théorème, dans la théorie des systèmes de courbes, 

 remplit un rôle analogue à celui du théorème de Bezout 

 dans la théorie des courbes algébriques. — Il ne cesse d'être 

 exact, dans les termes oii nous venons de l'énoncer, que 

 dans le cas où toutes les courbes du système passeraient 

 par un ou plusieurs points de la courbe algébrique. Dans 

 ce qui va suivre, ce cas d'exception ne se présentera pas. 



Considérons une transformation de contact, telle qu'à un 

 point quelconque de la ligure transformée corresponde 



dans la figura primitive une courbe V du mikme degré 

 et de la n^"""^ classe, et à une droite quelconque de la nou- 

 velle figure, corresponde dans fancienne une courbe V^ du 



pième degré de la ^''^"^ classe. — Les caractéristiques ^i', v', 

 du système transformé seront données en fonction des 



1) Voir la démonstration de ce théorème dans les Comptes rendus 

 du 5 juin 1876, de l'Académie des sciences. 



