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 caractéristiques [ji, v, du système primitif, par les relations 



,^« ([/.' = 72(/. + ^2v 



^-^ (v' = f/P- + iJv 



Pour établir la première de ces relations, il suffit d'obser- 

 ver qu'à chacune des [jJ courbes du système transformé qui 

 passent par un point arbitrairement choisi, il correspond 



une courbe du système primitif qui touche la courbe V" corres- 

 pondante au point 0, et inversement. Le nombre (/.' des cour- 

 bes du nouveau système qui passent en 0, est donc égal au 



nombre des courbes du premier système qui touchent Y" , 



c'est-à-dire, d'après le théorème énoncé ci-dessus, à. ni/.-\-m^ . 

 De même, pour la seconde relation : les courbes du nou- 

 veau système qui touchent une droite quelconque (D) cor- 

 respondent une à une aux courbes du système primitif qui 



touchent la courbe V^ dont(D) est la transformée. Le nombre 



v' des premières est donc égal au nombre c/ix. -f- p-j des se- 

 condes, fourni par l'appUcation du théorème précédemment 

 rappelé. 



IV. — Donnons quelques apphcations à certains modes de 

 transformation pris parmi les plus simples. 



1° Transformation homographique. — Dans cette trans- 

 formation, comme on le sait, à un point et à une droite de 

 Tune des figures correspondent respectivement un point et 

 une droite de l'autre. On a par suite : m = 0, « = 1, ^j = 1, 

 q= 0, et on retrouve un résultat évident à priori , à sa- 

 voir : [jJ = [x, v' = V. 



2° Transformation par rayons vecteurs réciproques. — A 

 un point et à une droite de la figure transformée, correspon- 

 dent respectivement un point et un cercle dans la figure 

 primitive. Par suite : m = 0, 22= 1, /) =. 2, q= 2. D'où 



p.'=[X, v'=2 ([. + V). 



3" Transformation birationnelle . — Dans ce mode de 

 transformation, étudié pour la première fois par M. Gre- 

 mona , et dont les deux précédents ne sont que des cas 

 très-particuliers, à un point et à une droite de l'une quel- 



