MISCELÁNEA 205 



Dando á h todos los valores impares posibles tendremos : 



Para & = 3; &* = 9 = 2 X 4 -(- 1 .-. a = 4 



4^ + 3- = 5'. 



Para 6 = 5 ; 6^ = 25 = 2 X 12 + 1 .-. a = 12 



12^ + 5- = 13^ 



Para & = 7 ; 6* = 49 = 2 X 24 + 1 .-. « = 24 



24^ + 7- = 25* 

 y así sucesiTamente. 



A esta serie de cuadrados hay qvie agregar, naturalmente, sus equimúltiplos, 

 con lo cual su número se aunaenta inmensamente. 



Teorema II. — Cuando, según lo demostrado anteriormente, N es el cuadrado de 

 a -\- 1 el número a es un múltiplo de 4. 



En efecto, el número impar i puede suponerse 



& = 2m + 1 

 y su cuadrado será 



h^ = 4m^ + ím -\- 1. 



Pero, según vimos antes, debe ser 



&2 ^ 2c + 1 = 2a 4- 1 

 tendremos, pues 



4m' + 4m 4- 1 = 2a + 1 .-. 



4m^ + 4m ^ 2a .•. 



2m^ + 2m = a .". 



2m{m + 1) = a. 



Ahora bien, el producto m{m -\- 1) debe ser indudablemente un número par, 

 toda vez que de no serlo m lo será forzosamente m + 1 y recíprocamente ; po- 

 dremos, pues, escribir 



m(m -|- 1) = 2tt .•. 

 2m{m -|- 1) = in = a. 



Corolario I. — El número par a será siempre mayor que el impar b. 

 En efecto, siendo a = in, tendremos a^ = 16n^, y como 6^ = 2a -f- 1 = 8íi -j- 1, 

 nos resultará, á todas luces, 



16w- > 8re + 1 .-. 



a^ > h- .-. 



a > 6. 



Corolario II. — Siendo a y i primos entre sí, a -{- 1 será primo con amhos. 



En efecto, en tal caso a* y Z)^ serán, asimismo, primos entre sí, y, por lo tanto, 

 su suma (a ■\- ly será un número primo con ambos. 



Sus raíces a, Z> y a -|- 1 deberán ser, por consiguiente, tres números primos 

 entre sí. 



