gones ayant le même nombre de côtés que le premier, et 

 jouissant des mêmes propriétés relativement à ces deux 

 mêmes coniques. Pour que deux coniques A, B soient 

 ainsi, la première inscrite, la seconde circonscrite à un 

 polygone de w côtés, il faut et il suffit que leurs élé- 

 ments satisfassent à une seule relation. Cette relation a 

 été explicitement formée par divers géomètres pour les 

 nombres m les plus simples, sans qu'on ait jusqu'à pré- 

 sent découvert quelle en est la loi. Cette loi est certaine- 

 ment fort compliquée et, comme on le sait d'après 

 Jacobi, n'est autre que la loi des polynones naissant de 

 la multiplication des fonctions elliptiques. 



Pour certaines questions, il n'est besoin de connaître 

 que quelques parties de cette loi. Telle est celle dont je 

 vais ici indiquer la solution. 



Si l'on suppose donnée la conique B et que l'on as- 

 treigne la conique A à faire partie d'un système S, il y a 

 parmi les coniques de ce sytème plusieurs solutions A. 

 On en demande le nombre. Dans un mémoire sur les ca- 

 ractéristiques que l'on trouve au Journal de l'École Poly- 

 technique et aux Proceedings de la société mathématique de 

 Londres, j'ai déjà traité cette question pour les cas du 

 triangle et du quadrilatère. J'ai trouvé que, si /* est la 

 l'"'' caractéristique de S, le nombre cherché est 2// dans le 

 premier cas, 3(^ dans le second. Des considérations tirées 

 de la théorie des caractéristiques conduisent aisément à 

 conclure que, pour le cas général, le nombre cherché est 

 toujours de la forme M|", M étant un nombre qui ne 

 dépend que de m. Mais la détermination de ce nombre M 

 n'est pas sans difficulté. Il m'a fallu faire une étude assez 

 approfondie de la relation générale, dont la loi n'est pas 

 explicitement connue, pour lever cette difficulté. J'y suis 

 parvenu, et je peux actuellement donner le théorème 

 suivant : 



Dans un système de coniques dont la 1^<^ caractéristique est 

 P-, le nombre des coniques inscrites à des polygones de m côtés 

 qui soient en même temps circonscrits à une conique donnée, 

 est M^, M étant une fonction numérique de m déterminée 

 comme il suit : 



Soient 2), q, r, .... les facteurs premiers de m, on a : 



