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Soient maintenant m^, mj, . . . wp, les masses des di- 

 vers points, et une origine fixe quelconque. En multi- 

 pliant les équipollences précédentes par m^, m^, . . . ntp, 

 puis ajoutant, et enfin divisant par m^ + m^ -}-... -fmp=2»î*, 

 nous aurons : 



m,OM, + wîjOMj + . . . + wipOMp m^OO) + m^OO^ + • • • mpOOp 



/.mOA,OA, -j-m^^ -f- . . .-|- mp OAp m, 00, -{- m^OO,-}-- • .+mpOOp\ 



( WiOBi-j-TOaOBg-l-- • .-\-mpOBp ■ m^00^-{-m^002-\-. . ■-|-mpOOp \ 



/m,OC,+m20Cî+...4-mpOCp miOOi + miOOa. .■'+wgOOp t 

 + ( ï^i î^ j^(*) = 



C'est-à-dire, en appelant Z le centre de gravité des 

 points mobiles, et 0', A', B', G', respectivement les cen- 

 tres de gravité des points 0, des points A, des points B, 

 et des points G, affectés de masses égales à celles des 

 points mobiles correspondants, 



OZ— 00' = (OA' —00') (0+ OB '— 00') ? {i) +(0G'-00') ^{t), 

 •ou encore 



0'Z = 0'k' fit) 4-0'B' <p (t) + O'G' t// [t]. 



Gela démontre le théorème énoncé, et cela donne en 

 même temps la détermination du système d'axes auquel 

 il faut rapporter le mouvement du centre de gravité, pour 

 que les équations de ce mouvement prennent la forme 

 requise. 



Ce théorème, dans sa gértéralité, se prête à de nom- 

 breuses conséquences, si l'on envisage des cas particu- 

 liers. Par exemple cette propriété connue en est un 

 corollaire immédiat : Si plusieurs points décrivent des cir- 

 conférences avec des vitesses angulaires égales, leur centre de 

 gravité décrit une ellipse. 



On voit aussi que des points pesants, étant lancés d'où, Von 

 voudra à la surface de la terre et décriva^it des paraboles, 

 leur centre de gravité décrira également une parabole. 



Si des points mobiles, dans les conditions de l'énoncé, décri- 

 vent des courbes planes, la trajectoire de leur centre de gravité 

 sera aussi une courbe plane. 



