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l^éance du «« avril 1999. 



PRÉSIDENCE DE M. ROZE. 



M. Appell fait la communication suivante : 



Définition d'une opération sur les fonctions, 

 par M. Appell. 



Dans une note insérée dans les comptes-rendus de 

 l'Académie (21 avril 1879), j'ai employé la notation ^n {cg) 

 pour désigner l'opération 9 (ce) répétée n fois. D'après 

 ce que j'ai dit dans cette note, le symbole ^n {ce) est dé- 

 fini pour toute valeur de n entière positive ou négative. 

 L'objet de la présente communication est de définir ce 

 symbole pour une valeur fractionnaire de n. 



Cette définition est la suivante : 



« Soient p et q deux entiers, «p^ [x) est une fonction f[x), 



q 

 « telle que fq [x) = ^p [x). » 



Ainsi 9 ^ [x) est une fonction f [x] telle que [f [x]) =^{x). 



Par exemple si <]p [x) = x, <f i_ {x) est une des quatre fonc- 

 tions : 



Si © (x) = xn, 9 ^ [x) — X 



1 1 



X, ^t ~i • 



X X 



p 



Ordinairement, lorsque 9 {x) est donné, la fonction 9 - {x) 



ne peut pas être exprimé à l'aide des fonctions élé- 

 mentaires. 



M. Alix fait les communications suivantes : 



