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 forme -- , on a une limite inférieure ou une limite 

 P 



supérieure du nombre cherché -r • 



2 



Soit, s'il est possible, — = —, x eiy désignant deux 



^ y 



nombres entiers premiers entre eux. Considérons le pro- 



p — 1 

 duit comme arrêté successivement à , puis à 



jo+l 



, p étant un nombre premier quelconque, et appe- 



p^ 2 2 p 1 



Ions ~ le produit -j- • "q ' P^ur abréger l'écri- 

 ture. Nous aurons la double inégalité 

 Kp X A p-{-\ 

 B ^ y B p ' 



et, par conséquent, nous pourrons égaler la fraction — 



A m 



à -— — — - , en appelant — une fraction irréductible 

 B p n 



convenablement choisie, comprise entre et 1. Donc 



X A (_p+~) A [pn-^m] 



y Bp Bpn 



Or, le facteur A = 2.2.4.4.... [p — 1) ne contient pas 

 le facteur premier p. Le facteur pn-^m ne le contient 

 pas non plus, si m n'est pas facteur de p. Il le contient 

 une fois seulement, si m est facteur d'une puissance de^ 

 supérieure à la première, car n ne contient pas le facteur 

 23 si m le contient. Pour que pn-}-m contienne plus d'un 

 facteur p, il faut que m soit multiple de p sans l'être de 



^% et que le quotient n-\ — contienne encore le facteur 



p un certain nombre de fois. 



Le dénominateur le contient au moins deux fois, sa- 

 voir : une fois dans B = 1. 3. 3. 5. . . . j3, et une fois dans 

 le produit np; il peut le contenir un plus grand nombre 

 de fois, si n est multiple de p. 



