— 197 — 



de fois, si n est multiple de p. Mais alors m ne le conte- 

 nant pas, tous les facteurs p sont au dénominateur : de 

 même, ils sont au numérateur, si m est divisible par p 



sans l'être par p\ et si w-f-- contient encore le facteur |j 



P 

 plus d'une fois. 



Quand on supprimera les facteurs premiers communs 



aux deux termes de la fraction — -=■ , trois cas 



Bpn 



peuvent donc se présenter : 



1° Ou bien tous les facteurs p sont en dénominateur ; 



2° Ou bien, ils sont tous au numérateur (m multiple de 



m ,. . ., . . 



p, et n-\-- divisible par p') ; 



3° Ou enfin, m étant multiple de p sans l'être de p*, et 



n-\- ~ étant aussi divisible par p sans l'être par^*, le 



facteur^ disparaît haut et bas. Nous désignerons ce cas 

 sous le nom de cas exceptionnel. 



Faisant abstraction pour le moment du cas exception- 

 nel, nous voyons que y dans le premier cas, x dans le 

 second, sont au moins égaux à p, et, comme la suite des 

 nombres premiers est indéfinie, des termes du rapport 



— , égal à - , sont tous deux supérieurs à tout nombre 



TU 



assignable. Donc '—n'est pas exprimable par le rapport 



de deux entiers ; en d'autres termes tv est incommensu- 

 rable. 



Cette conclusion suppose, il est vrai, que le cas excep- 

 tionnel n'ait pas lieu. On peut se faire une idée de l'éten- 

 due de ce cas, en observant qu'il suppose que deux 



nombres différents m, et n-\ — , soient tous deux multi- 



P 

 pies de jo, et non divisibles par p^. Or la probabilité qu'un 

 nombre pris au hasard soit divisible par p sans l'être par 



p — 1 

 js*, est ^— p ; la même probabilité pour deux nombres, diffé- 



