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rents pris au hasard est égale à f _ ) probabilité qui 



\ P'' h 

 diminue indéfiniment à mesure que p augmente, et qui, 

 à la limite, pour p infini, est égale à o, de sorte que la 

 probabilité du cas exceptionnelle est nulle ; la probabilité 

 de r incommensurabilité de tt est par conséquent égale à 

 l'unité. 



II. Il en est de même de t:^, y^ étant un entier quel- 

 conque. 



En effet le développement de Wallis se prête à l'élé- 

 vation aux puissances, et l'on peut poser 

 /TC\fi T /2\^-<2\f^x4\^/4Nfi /'p—i\l^/p+l\^ 



(2) =i^^(ï) (3) (-3) (5) ••( J-) y—) ■•■ 



Appelons — la fraction irréductible à laquelle f— ) 



serait égal s'il était commensurable, et soit p un nombre 

 premier aussi grand qu'on voudra; nous aurons encore 



aV ^ X, ^ A^ {p+\f 



d'où l'on déduit 



X, K (jo -hn) A^' {p^'n-\-m) 



B pr B' p n 



— étant un nombre commensurable réduit à sa plus 

 n 



simple expression, et compris entre et (p-f-1) F • En 

 raisonnant comme tout à l'heure, on verra que plusieurs 

 cas peuvent se présenter : 



1° Si m n'est pas divisible par ^, le dénominateur t/, ren- 

 ferme au moins I^j. facteurs j5; 



2'" Si m contient le facteur p moins de p- fois ou plus de 

 /^ fois, le dénominateur y^ renferme au moins [^ facteurs 

 p; 



3° Si m contient [j. facteurs jj, et que n-i nesoitplus 



