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divisible par /> , le dénominateur 3/, renferme le facteur p 

 une fois au moins ; 



w f*-|-l 



4° Si m est divisible par p sans 1 être par js et que 

 n-\- - contienne le facteur p plus de ft fois, le numéra- 



P 

 teur x^ renferme un ou plusieurs facteurs p; 



5° Enfin, il y a un cas exceptionnel, celui où m renferme 



exactement m. facteurs », et où il en est de même de n-\ — 



u 



V 



Le facteur p disparaît alors aux deux termes de la frac- 



tion — . 



Abstraction faite du cas exceptionnel, il restera au 

 moins un facteur jp, soit dans x^, soit dans y^, et par suite 

 x^ et y^ sont tous deux supérieurs à toute limite assi- 

 gnable. 



La probabilité du cas exceptionnel est représentée par 



( p 1)2 



la fraction-^- — , gui décroit indéfiniment, non-seule- 



P 

 ment quandp augmente, mais encore quand f* augmente 

 et qui a zéro pour limite pour p infini et pour f* infini. 



Ip 1)2 



Elle est toujours moindre que et elle diminue à 



mesure que l'exposant ft augmente. A la limite, pour p 



infini, la probabilité de l'incommensurabilité de Tt 

 égale à l'unité, quel que soit yL. 



La démonstration que nous venons de donner de l'in- 

 commensurabilité de 71 et de ses puissances est incom- 

 plète, puisque nous y laissons de côté le cas exceptionnel 

 qui, quelque peu probable qu'il soit, peut à la rigueur se 

 produire. Nous étudions spécialement ce cas exceptionnel 

 dans un travail que nous espérons publier bientôt ; nous 

 y montrons que la phis simple fraction qu'on puisse insérer 



. . A A (ft+l) 

 entre les deux limites -et 1^ , ou entre les deux limites 

 B B j? 



