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par le potentiel relatif au même conducteur dans le pre- 

 mier état d'équilibre. 



laU = IbY. 

 Ce principe de Gauss, dont M. Bertrand a déjà déduit 

 plusieurs théorèmes importants, permet de démontrer 

 directement plusieurs théorèmes d'électricité statique. 



I. Supposons que chacun des conducteurs renferme 

 des quantités égales des deux fluides, positif et négatif : 

 il résulte du principe de Gauss que tous les conducteurs 

 sont à l'état naturel. 



Désignons en effet par + a et — « les quantités des 

 deux fluides qui existent sur le premier conducteur A, 

 par V le niveau potentiel sur ce conducteur dans le pre- 

 mier état d'équilibre. Supposons maintenant que l'on 

 place sur les conducteurs des quantités arbitraires 

 d'électricité en équilibre ; désignons par « la charge du 

 premier conducteur dans le second état d'équilibre, par 

 U le niveau potentiel sur le même conducteur dans le 

 second état d'équilibre. D'après le principe de Gauss, 

 o = 2aV. 



Pour que cette dernière somme soit nulle, quelles que 

 soient d'ailleurs les charges « de chacun des conducteurs 

 dans le second état d'équilibre, il faut nécessairement 

 que Je niveau potentiel V soit nul sur chacun des con- 

 ducteurs dans le premier état d'équilibre. Ainsi dans 

 le premier état d'équihbre tous les conducteurs sont 

 au niveau potentiel zéro, ils sont donc dans les mêmes 

 conditions que s'ils communiquaient avec le sol, ces 

 conducteurs sont donc à l'état naturel. 



Ce théorème bien connu peut ainsi se déduire immé- 

 diatement du principe de Gauss. On s'appuie sur ce théo- 

 rème dans la théorie de l'électricité statique pour dé- 

 montrer qu'il n'existe qu'un seul état d'équilibre possible 

 pour des quantités déterminées d'électricité placées sur 

 les divers conducteurs. 



II. Lorsque des charges électriques sont en équilibre 

 sur des conducteurs à des niveaux potentiels déterminés 

 pour chaque conducteur, l'équilibre électrique n'est pos- 

 sible que d'une seule manière. 



Désignons par on la charge électrique en un point M 



