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Imaginons qu'on fasse varier les coefficients A, B, G, 

 de l'équation, tout en assujettissant la courbe à passer 

 par les trois points donnés. Si l'on désigne par J'A,c^B, (3'C 

 les variations finies ou infiniment petites de A, B, G, et 

 par cJS la variation correspondante de la surface S, on 

 aura à la fois 



= — /it?A -f h'âB — h^^G, 



— h^A + h'^B + h^^C, 



SS=lh^dB. 



Or la somme des deux premières équations donne 

 (JB=0. DonC(3'S est aussi nul, et la surface S est constante. 

 Les mêmes considérations conduisent à l'expression de 

 S en fonction des ordonnées a, 6, c, et de l'intervalle h 

 entre les ordonnées consécutives. Si en effet on fait va- 

 rier à la fois A, B, G et a, b, c, et qu'on appelle encore cJS 

 la variation résultante pour la surface S, on aura 

 ^a = db — h^k + h'^B — h^^C, 

 âc = ^b -\- h^k -h /i^B + h^^G, 



2 

 cJS = 2/iJô -t- 3 h^âB. 



Faisons la somme des deux premières équations. Il vient 



^a -f ^c = 2^6 -f 2/i'cJB, 

 et éliminant cJB entre cette équation et la précédente, on a 



OU bien 



cJS =i {^a-^Adb + âc) = ^â {a+Ab-{- c), 



équation qui peut être intégrée, et qui donne 



Sr=^ (a4-4& + c), 



à une constante près. Mais il est facile de voir que la 

 constante est nulle; car si l'on fait « = o, b = o^ c = o, 

 on pourra prendre pour parabole du 3^ degré l'axe des 



