— 187 — 



l'ellipsoïde avec le plan tangent à l'ellipsoïde au point M, 

 p = r cos 9, 



■y = ^ 2 oo cos 9. 



La quantité oj cos <p est la surface interceptée sur la 

 surface sphérique décrite du point comme centre avec 

 le rayon r, par le cône infiniment délié qui a pour centre 

 le point et pour base l'élément w. Le potentiel v est une 

 somme de termes analogues multipliée par le coeffi- 

 cient k. 



Le calcul de ce potentiel est fort simple dans le cas 

 d'un ellipsoïde de révolution. 



Considérons un ellipsoïde engendré par la révolution 

 d'une ellipse tournant autour de son grand axe. Dési- 

 gnons par Q l'angle aigu que forme le rayon OM avec le 

 grand axe de l'ellipse, par B \- dS l'angle que fait avec le 

 même axe un rayon OM' infiniment voisin du premier. 



L'arc de cercle décrit du point comme centre avec 

 le rayon r et intercepté entre les côtés de l'angle MOM', a 

 pour valeur r dQ. Cet arc de cercle, en tournant autour 

 du grand axe de l'ellipse, engendre une zone qui a pour 

 aire uc?Ô X 2 tt r sin Q. Le potentiel cherché a donc pour 

 valeur 



v^l-Khi 7-^SinQdQ. 



Le rayon r s'exprime aisément en fontion des axes de 



l'ellipse et de l'angle Q. Un calcul facile à effectuer conduit 



à l'expression suivante 



1 , , f^+e\ 



'o = ^Jog.nep. 



2c "^ ^ \l —e 

 en appelant 2 c la distance des foyers de l'ellipse, e son 

 excentricité. 



Pour un second ellipsoïde de révolution homofocal, le 

 potentiel v' s'exprime de la même manière : il suffit de 

 remplacer l'excentricité e par sa nouvelle valeur. 



L'expression précédente du potentiel d'une couche élec- 

 trique en équilibre sur un ellipsoïde de révolution permet 

 de résoudre incidemment quelques questions. 



1° De tous les ellipsoïdes de révolution de même volume, 

 quel est celui pour lequel le potentiel v a la valeur 

 maximum ? 



