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(a?» — 1)2/" + 2/' — n*y=0 



1 

 sont les dénominations des réduites de - 



[/'x^ — 1 



Le but de cette note est de démontrer certaines pro- 

 priétés analogues que possèdent les Polynômes qui sa- 

 tisfont à l'équation différentielle plus générale : 



A (^)2/'' + G(^)y + F(a?)y = ; 

 où A N est un Polynôme, au plus de degré p -{-i; (j{a;), 

 de degré j3; et F{og) de degré jo — 1. 



II. On démontre aisément que si l'on se donne les fonc- 

 tions A H et G(^), il n'existe qu'un nombre limité de 

 fonctions F {x), telles que l'équation : 



A{x)y"^Ciœ]y'^F{x)y=o 

 admettre comme solution un Polynôme entier en x. 



Ce nombre x de fonctions F{x) sera, si l'on désigne par 

 n le degré du Polynôme : 



(^ +1) (m + 2) (n-f-p — 1 

 1 2 p — i 



Dans tout ce qui suit, nous supposerons que F [x) repré- 

 sente une de ces fonctions . 



III. Soit donc l'équation : 



A{x)f + G(a^,y'-i-F{x)y = o 

 qui est vérifiée, par hypothèse, par un Polynôme de 

 degré n, Pn {x). 



Pour simplifier, je suppose A (x) du troisième degré : 

 p = 2; on verra aisément que les démonstrations son 

 générales. 



Je définis une fonction K{x) par la relation différen- 

 tielle : 



- K{x) X ^ ' 



dx G![x) 



en posant a [x) =.[x — x^) [x — x^) {x — x^) [x^ < a^i > Xç^) 



et ^(^)^ /^-o , (^i I /^. _ D^'-fD^^ + D, 



A(^) X — x^ X — x^ X — x^ A (^) 



On aura f^o i^i y-* 



K{x)=-{x — x^) [x — x^) [x — a?,) 



Je n'examinerai aujourd'hui que le cas où Kf.*) s'an- 



