^(^) . M _ ^L 



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nule pour x = Xo, x = x^ et x = x^] c'est-à-dire (jl^ >o; 

 /^i > ; f^2 < 0. 

 VI. Faisons maintentenant dans l'équation (1) la substi- 



A (x) 



tution y =u ——{. 



On trouve en u une équation difTérentielle de même 

 forme : 



(2) A y^'V^ (2 A' — G) v! + (F:+ A" — G> = o. 



Cette solution admet comme solution la fonction 



^[x) ^'^ ^")- 



Posons 



^ cco AK - - 



On trouve aisément 



Av," + [2^'-G) V + (F + A"-G') v, = u.^ 

 [x^ étant une constante. 

 De même en posant 



f S K(^) j, , , dz 



^ cci Ai^) ^ — ^ 



on .trouve 



A^," + (2A'-G) <+(FH-A"-G') v,=:fj., 

 11 en résulte que v^ et v^ sont des solutions de l'équa- 

 tion qu'on obtient en differentiant le premier membre de 



(2) et en égalant ce résultat à zéro. 

 Cette équation est la suivante : 



(3) A {co)tc"' — [3a'(*) - G{x)]u" + [3a"(^) - 2G'(*) -f F^] , 



u' + [A" (^) — G"(a;) + ¥\x)]u = 0. 

 Elle admet donc les trois solutions : 



à[x) 



tCo Al-J X — Z 



_ r«', K 



'^ xo A 



_ r ^2 K(z) 



' ~ ^ CD, A(-3) 



Pnf^'^' 



Je vais démontrer qu'elles sont linéairement indépen- 

 dantes, en m'appuyant sur le Lemme suivant : 



