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V. Lemme. — Le Polynôme Pn ne s'annule pas pour les 

 valeurs ^o» ^n ^^ q^ii annulent aH- 



On a en effet : 



A(^) P"n (*) + G(^) P'« (^) + F(a;) P„ (;r) + o. 

 Si on avait PnK) = o on conclurait Gr(a;j Pn(^o) =o. 

 Or Gteo) ^o car on a supposé /^o > o- 

 On a de même 



A(j;;P"'n (a;) + [A'(a-) + G(i;)]P"n (a-) + [G'(a;) -\-Y[%)\V'n-\-Y" [x)Vn {x) = o 



Comme V{x^) — o ; P'(a;o) = o il faut que 



Or si G{x^) + A'(«o) = o on en conclurait ^o = — 1 ce 

 qui est impossible, car f^o > o- 



Donc P' n (iPo) = 0. 



On aurait de même F'"{x^) = o; F""'{x)=.o, etc.. et 

 PH{a;j = ; ce qui est impossible, puisque le Polynôme 

 est de degré n. 



Je ferai encore sur l'équation (1) une autre remarque. 



Si on y substitue à la place de y un Polynôme de degré n, 



Aoojn + 



on trouve, en égalant à zéro le terme du plus haut degré 

 en X : 



(4) n[7i — l) -\~ Dn -\- ¥ = ; 



en désignant par F le coefficient de la plus haute puis- 

 sance de X dans F{x). 



VI. Je dis maintenant qu'il n'existe pas de relation de 

 la forme : 



Si cette relation existait, on en tirerait d'abord a=o ; 



car le premier terme ordonné suivant les puissances 



décroissantes de x commence par un terme en x, de degré 



*î + ^0 + i^i -f ^. — 3 



L'exposant de ce terme est supérieure à — 1 toutes les 



fois que 



n^lx, + ^,+[x, >2, 



c'est-à-dire puisque /Mo, /^i, f^, sont positifs, toutes les 

 fois que n est supérieur à 1. 



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