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On peut écrire aussi : 



. r "m p„ (,) _^+., r '^ 51i)p,,(.)^= ^+ . 



J ce, A (2) x—z J X, l^[z] x — z n-f2 



X 



On en déduit : 



iL P«, (^) rf^ + co J ^ — P,„, iz] dz = o 



cco Al-S^j J œ, A (2^] 



^ p. K|£) p^^ 2^^ + w, f "' Si) p,^ (s) Z(^4r = o 



J cc„ A -s) -' œ, A - 



cCo A(-S) -' œ, A 



ou plus simplement 



w 



-f^^ Pn (^) TT. (^) CZ.^ + W, -— Pn (^-) TT,, (z) d^ 1= O 



en désignant par 7t„ (2:) un Polynôme quelconque de degré 

 au plus égal à n. 



VIII. On en conclut que l'équation Pn (-s^)=o a ses racines 

 réelles comprises entre x^^ et x^ ; en supposant toujours 



^2 ^ -^1 ^ ■''0 • 



Soient en effet 

 «1 /3i . . . /i les racines de Pn [00) = entre x^ et a;^ ; 

 «2 /S, . . . /, celles qui sont entre x^ et i»;^ 

 On a Pn(^) = (a;— «,) — [x — /,) (a; — a^) — [x — /^^) X(«). 



Si X(i») est une constante, le théorème est démontré ; 

 sinon c'est un Polynôme, au moins du premier degré. 

 Prenons t:[x) = [x—a^] — [x—l^) [x — a^) — [x — /,) [x^—x)s 

 £ étant égal à on à + 1 

 on aura : 



w, -7- , A^ (5) (.T, - s) dz+ ^. 77- A' (-Ï) (--^i -s dz = o, 

 J xo Al^j -^ «i Al^r) 



en désignant par 



A(^) = {z — c^,){z-A,){z- ce,) — (5 - ^). 

 Dans chaque intégrale tous les éléments ont le même 



signe, puisque aucun des facteurs sous le signe J ne 



change de signe entre x^ et x^ ; ou entre x^ et x^. 



