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coïncider avec le point A53, sera nécessairement le symé- 

 trique de À:j3 par rapport à la droite k^^ k^^. On déter- 

 mine d'une manière analogue les troisièmes points homo- 

 logues k\ et k\ des points k^^ etk^^. 



On arrive ainsi à posséder trois triangles homologues 

 dans les trois figures F<, F^, F3, par lesquels la corres- 

 pondance entre ces trois figures est complètement déter- 

 minée. Ces trois triangles sont : 



Le triangle T^ = fc'^fcj^fc^, dans la figure F^, 

 Le triangle T, = k^^k'^k,^ dans la figure F,, 

 Le triangle Tj == k^^k^^k'^ dans la figure F3. 



Pour achever maintenant la démonstration de la pro- 

 position énoncée on n'a qu'à remarquer qu'en faisant 

 tourner les trois triangles T^, T,, T, autour des trois 

 droites k^^k^^, *3i^»3, Kz^n respectivement, on peut les 

 amener en coïncidence avec le triangle T = k^^k^^k^^, et 

 faire coïncider aussi les trois figures F^, Fj, F3 avec une 

 seule et même figure F. 



La considération de la figure F, à laquelle les trois 

 figures données peuvent être rapportées d'une manière 

 aussi simple, est bien précieuse. Elle permet de déduire 

 des propriétés élémentaires du triangle T celles des trois 

 figures P\, Fj, F3. Mais aussi réciproquement la considé- 

 ration des trois figures F^, F^, F3 peut servir à établir 

 aisément diverses propriétés du triangle T. 



Nous désignerons P^, P„ P3 par trois points homologues 

 dans les figures F^, F3, F3, et nous représenterons par P 

 le point de F dont ils sont les symétriques. De même 

 nous représenterons par l, l^, Z„ l^ quatre droites corres- 

 pondantes dans les figures F, Fi, Fj, F3 respectivement. 



Trois points Pt homologues dans lestrois figures Fi sont 

 en général situés sur un cercle. Ces points peuvent ce- 

 pendant être sur une même droite l, si les milieux des 

 segments PP^, PPj, PP3, c'est-à-dire les pieds des perpen- 

 diculaires abaissées du point P sur les côtés du triangle T, 

 sont en ligne droite. Pour cela, il faut que le point P soit 

 sur le cercle G circonscrit au triangle T. Ainsi : 



IL Lieu despoints P de F auxquels correspondent dans les 

 figures F^, F^, F3 trois points situés sur une même droite 1 est 

 le cercle G circonscrit au triangle T = k^^k^^k^^'. 



