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Il est donc intéressant de savoir quelle est la disposi- 

 tion par rapport au cercle G des divers couples de points 

 correspondants de la correspondance quadratique (M, N). 



Soient «^, h^, c^ les trois segments côtés du triangle T; 

 flj, 62, c, les prolongements indéfinis de ces côtés à droite 

 d'un observateur placé dans le triangle T, et «3, 63, c^ les 

 prolongements indéfinis de ces mêmes côtés en sens 

 inverses soient de plus «, /3, y les trois arcs du cercle G, 

 soutendus par les cordes a^, b^, c^ en n'empiétant pas les 

 uns sur les autres. 



Si le point M se trouve dans l'intérieur du triangle T, il 

 en est de même pour le point correspondant N. Si le point 

 M se trouve dans une des régions a^ a, h^ (2, c^ y (bornées 

 respectivement par le segment a^ et l'arc «, etc.) le 

 point N se trouve respectivement dans la région illimitée 

 &JC3, Ci^a, aj&3. Enfin si le point M se trouve dans une des 

 régions illimitées &2aC3, CjjSaj, cx-^^/h^ le point correspon- 

 dant N se trouve dans la même région. 



Dans le premier et le troisième de ces cas, la conique 

 ayant les points M et N pour foyers et inscrite dans le 

 triangle T, est une ellipse, elle est une hyperbole dans le 

 second. On remarquera que lorsque le point M franchit 

 le cercle G ou la droite à l'infini, la conique correspon- 

 dante d'ellipse devient hyperbole ou réciproquement en 

 passant par un état intermédiaire de parabole, tandis que 

 si le point M franchit un des côtés (illimités) du triangle 

 T la conique correspondante change aussi d'espèce mais 

 en passant par un état intermédiaire de conique infini- 

 ment aplatie. 



Sur un Critérium relatif à la théorie des sections coniques, 

 par M. Halphen (1). 



On détermbie une conique par trois de ses points et par son 

 centre, et il s'agit de distinguer les cas où, cette conique est 

 une ellipse de ceux où elle est une hyperbole. 



(1) Communication faite dans la séance du 23 juillet 1881 . 



