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Pour résoudre cette question, Steiner a donné le cri- 

 térium suivant : 



Soient a, h, c, les trois points; tracez les trois droites qui 

 joignent deux à deux les milieux des segmeyits ah, bc, ca. Ces 

 trois droites partagent le plan en sept régions, dont quatre ne 

 contiennent aucun des points a, h, c. Si le centre est dans une 

 quelconque de ces quatre régions, la conique est une ellipse ; 

 s'il est dans une quelconque des trois autres, la conique est une 

 hyperbole. 



Voici maintenant une seconde question sur le même 

 sujet. 



Le centre étant placé de telle sorte que la conique soit une 

 hyperbole, on demande de distinguer la répartition des trois 

 points entreles deux branches de cette hyperbole.; 



Et voici la réponse : 



Chacune des trois régions qui contiennent a, b ou c, est 

 subdivisée en quatre parties par les trois droites ab, bc, ca, 

 savoir : un triangle, un angle et deux bandes comprises entre 

 deux droites parallèles. 



Si le centre est dans un angle, les trois points sont sur une 

 même branche de Vhyperhole ; 



Si le centre est dans un triangle, celui des trois points qui 

 est un sommet de ce triangle est sur une branche, les deux 

 autres sur l'autre branche; si le centre est dans une bande, les 

 points sont répartis de la même manière que pour le triangle 

 qui a un angle opposé par le sommet à Vun de ceux qui limi- 

 tent cette bande. 



Envisageons maintenant les mêmes questions pour 

 une conique déterminée par trois de ses tangentes et son 

 centre. 



A ce nouveau problème tout ce qui précède s'applique 

 exatement, pourvu que l'on envisage les droites ab, bc, 

 ca comme étant les tangentes données. Pour la réparti- 

 tion des tangentes entre les branches d'hyperbole, on 

 remplacera chaque point par les deux droites qui s'y cou- 

 pent, chaque paire de points par la droite qui les joint. 



Remarquons enfin cette conséquence : Sur une même 

 branche d'hyperbole on prend trois points quelconques. Le 

 centre de la courbe est toujours dans un des angles opposés 

 par le sommet à ceux du triangle formé par les trois points. 



