ductible et moindre que l'unité, la mettre sous la forme 

 d'une somme de parties alîquotes de l'unité. Le problème 

 peut recevoir un grand nombre de solutions, dont l'une, 



celle cfui consisterait à répéter» fois la fraction-, s'offre 



q 



immédiatement à l'esprit. Pour définir le développement 

 particulier que nous avons en vue, nous lui imposerons 

 cette condition, que les fractions composantes, rangées 

 par ordre décroissant de grandeur, forment pour ainsi dire 

 une série convergente, de sorte que les valeurs succes- 

 sives que l'on obtient en en prenant un terme, deux 

 termes, trois termes expriment chacune une valeur 



approchée de - avec la moindre erreur possible. 



Nous supposons j9 et q premiers entre eux, et p <q, 

 pour que la fraction soit inférieure à l'unité. Cette fraction 

 tombe nécessairement entre deux termes consécutifs de 

 la série harmonique 



1 1 1 1 1 



^' Ô' Q' A' 



2' 3' 4' w'w+l 



Supposons, par exemple, qu'on ait à la fois 



^<i et?> ' 



q n q n-{-i 



11 vient, en renversant les fractions, 



w < - < w + 1 , 

 P 

 de sorte que n est le quotient entier de la division de q 

 par p. Cette division donne un certain reste R, moindre, 

 que le diviseur/) ; si l'on augmente d'une unité le quotient 

 n, le reste de la division devient négatif, et égal en valeur 

 absolue à la différence p — R. Soit r ce reste complé- 

 mentaire. Nous aurons 



q = 2-)[7i -\~ 1) — r. 

 On déduit de cette équation, en divisant par qx{n-{-l), 

 p \ ^ r 



q n-\-i ^(w-|-i) 



7) 



et la fraction- se trouve exprimée par la somme de l'in- 

 1 



