— 90 — 



verse d'un entier, et d'une fraction complémentaire, dont 

 le numérateur r est moindre que p. 



T p 



On pourra opérer sur- — — -. comme on l'a fait sur-, 

 fy(n+l) g' 



c'est-à-dire diviser q{n~\-i) par r, prendre par excès le 

 quotient entier n' -\-l, et poser de même, 

 r i r' 



g{n-[-i)^n'-{-'[^ q{n-\-i){n'-{-iy 

 r' étant le complément du reste de la division de q{n-\-l) 

 par r, nombre nécessairement moindre que r. On conti- 

 nuera de la même manière. Avant d'opérer sur la fraction 

 complémentaire obtenue, il convient de la réduire à sa 

 plus simple expression, s'il y a lieu. Dans tous les cas, 

 les numérateurs successifs r, r\ r', .... iront en diminuant, 

 et comme ils sont tous entiers, on est certain d'arriver, 

 au bout d'un nombre fini d'opérations, à un numérateur 

 égal à ou à 1. La décomposition demandée est opérée 

 dans ces deux hypothèses, et la fraction donnée s'ex- 

 prime par la somme 



2^ 111 



q w-f 1 ' ?z' + l ' n"-fj ' ■■■■ 

 des fractions dont le numérateur est l'unité, qu'on aura 

 déterminées successivement. 



1 



Remarquons que la première fraction exprime 



w-f- 1 



P 

 une valeur approchée de - avec une erreur moindre que 



1 p 



, puisque - est compris , par hypothèse , entre 



1 1 



— -— et -.De même l'ensemble des deux premiers termes, 



n -\- 1 n 



1 1 p 



— -— - -| — p— -r , représente une valeur approchée de - à 



n -j-i n' -\-l q 



moins de „ , , ., , puisque le second terme exprime, à 

 n(«'-[-l) ^ ^ 



moins du même nombre, la valeur approchée de la frac- 



1 

 tion complémentaire de — -— , . La méthode conduit tou- 



n -\- 1 



