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30_1 111 1 . _J 



61 ■" 3 "^ 7 ^ 65 "^ 4383 "^ 3041i2542 "^ 1233230250789810 " 



Les numérateurs des fractions complémentaires suc- 

 cessives diminuant au moins d'une unité quand on passe 

 de l'une à l'autre, le nombre des fractions qui constituent 

 le développement est au plus égal au numérateur de la 

 fraction donnée ; il peut d'ailleurs être moindre, soit que 



les numérateurs r,r', diminuent plus rapidement que 



la suite décroissante des nombres entiers, soit qu'il y ait 

 suppression de facteurs communs aux deux termes de 

 certaines fractions complémentaires. 



On trouverait de même 



7 3^11^231 

 On pourrait sans doute adopter une autre décompo- 

 sition et poser par exemple 



7 4 "^7 "^28' 

 mais cette décomposition entraînerait plus d'erreur si 

 l'on se bornait à prendre 1 ou 2 termes du développe- 

 ment comme valeur approximative du résultat total. 

 En général, on a identiquement 



a _ i . 1 



ma — 1 m mima — 1) 

 par l'application pure et simple de la règle. Dans le cas 



2 1 1 



où a = 2, cela donne 7 = — 1 — ■ 



Im — 1 m m[lm — 1] 



Le nombre e se présente naturellement sous la forme 

 voulue dans la série 



,,1,1,1, 1 

 ^1 ^1.2^ L2. 3 ^1.2. 3.4^ 



Le nombre - s'exprime par la même série, en chan- 

 geant les signes des termes de rang pair, ce qui donne 

 1 11,1 1 , 



e 1.2 1.2.3 ' 1.2.3.4 1.2.3.4.5 ' ■'" 

 Pour ramener cette série à la forme 3 -, avec les termes 



