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L'excès du nombre des racines positives sur celui des racines néga- 1 8 l 4. 



tives de l'équation Z = o est égal au même excès, par rapport à la seconde 

 équation auxiliaire , diminué ou augmenté d'une unité, selon que le 

 produit des coëfficiens des deux derniers termes du polynôme Z est 

 une quantité positive ou négative. 



Concevons d'après cela que l'on forme une troisième équation auxi- 

 liaire qui se déduise de la seconde, comme celle-ci se déduit de Z=:o; 

 puis une quatrième qui se déduise de la troisième, aussi de la même 

 manière, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'enfin on soit parvenu à une 

 équation du premier degré, ce qui formera uu nombre n — i d'équa- 

 tions, puisque la première Z = o est du degré n — i , et que le degré 

 s'abaisse d'une unité en passant d'une auxiliaire à la suivante. Sup- 

 posons que, dans chacune de ces n — i équations, on fasse le produit ; 

 des coëfiiciens des deux derniers termes; il résulte de la règle qu'on 

 vient d'énoncer, que la différence entre les nombres de racines positives 

 et de racines négatives de la première auxiliaire Z=o,sera égale au 

 nortibre des produits de cette espèce qui seront négatifs , moins le 

 nombre de ceux qui seront positifs; donc aussi, d'après la relation qui 

 existe entre cette auxiliaire et la proposéeX = o, le nombre des racines 

 réelles de celles-ci, diminué d'une unité, sera égal à cette même ditié- 

 rence entre les nombres des produits de signes différens. 



Ainsi, par les signes de n — i fonctions rationelles des coëfficiens de 

 la proposée , on pourra juger du nombre de ses racines réelles. Pour 

 qu'elles le soient toutes, il faudra que toutes ces fonctions soient néga- 

 tives; et pour qu'elles soient toutes imaginaires, il suffira que le nom- 

 bre des positives surpasse d'une unité celui des négatives. Si, par 

 exemple, la proposée est du sixième degré, il y aura pour la réalité 

 de toutes ses racines cinq conditions déterminées; mais, au contraire, 

 pour qu'aucune de ses racines ne soit réelle, il faudra- que trois sur 

 cinq quantités soient négatives , condition qui peut être remplie de dix 

 manières différentes. 



La règle que M. Cauchy a donnée pour déterminer la différence entre 

 les nombres de racines positives et de racines négatives de la première 

 auxiliaire, peut également s'appliquer à la proposée elle-même; et 

 comme celle-ci est du degré n, il eu résulte qu'en formant uu nombre n 

 de fonctions de ses coëfficiens, on pourra, d'après leurs signes, 

 déterminer la différence entre les nombres de ses racines réelles de l'une 

 et de l'autre espèces; on en connaît déjà la somme au moyen des n — i 

 fonctions précédentes; donc, au moyeu de in — i fonctions rationnelles 

 des coëfficiens de la proposée formées suivant des lois déterminées, 

 0/1 pourra connaître le nombre et l'espèce de ses racines réelles , ce 

 ^ui est la solution générale du problème que M. Cauchy s'est proposé 

 de résoudre. 



