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de ce pi-Incipe qu'elles ne peuvent jamais, en quelque nombre qu'on 

 les prenne , servir à compléter les intégrales des équations aux diffé- 

 rences partielles. Il n'eu est pas de même des fonctions arbitraires; 

 elles produisent , en les différentiant , d'autres quantités qu'on doit 

 traiter dans les éliminations comme des inconnues indépendantes des 

 fonctions dont elles sontdérivéesj et c'est pour cette raison que l'intégrale 

 qui contient de semblables fonctions peut satisfaire au principe en 

 question dans toute sa généralité. 



Lorsqu'une fonction arbitraire est comprise sous le signe d'intégra- 

 tion, elle peut s'y trouver de deux manières essentiellement distinctes: 

 il ^eut arriver que l'intégrale ne contienne pas d'autres variables que 

 la quantité renfermée dans la fonction arbitraire, et alors l'intégration 

 donne pour résultat une nouvelle fonction de cette même quantité; ou 

 bien l'intégrale renferme, hors de la fonction arbitraire, une seconde 

 variable qui doit être traitée comme constante dans l'intégration , ce 

 que M. Ampère appelle avec raison une intégration partielle. 11 divise 

 les intégrales des équations aux différences partielles en deux classes : 

 la première, dont il s'occupe presque exclusivement, comprend toutes 

 les intégrales qui ne renferment pas les fonctions arbitraires sous des 

 signes d'intégrations partielles; la seconde se compose de toutes celles 

 qui contiennent des intégrales partielles , lesquelles peuvent être 

 d'ailleurs des intégrales indéfinies ou des intégrales définies prises 

 par rapport à une variable qui n'entre pas dans l'équation différentielle 

 donnée. 



Ces deux classes d'intégrales se distinguent l'une de l'autre en ce 

 que, relativement à celles de la première classe, le nombre de nou- 

 velles arbitraires qui paraissent à chaque ordre de différentiation ne 

 3eut jamais surpasser celui des fonctions arbitraires distinctes que 

 'intégrale contient, ce qui n'a pas lieu par rapport aux intégrales de 

 '. a seconde classe. D'après cette propriété , et en s'appuyant toujours 

 sur le principe ci-dessus énoncé, M. Ampère démontre qu'une inté- 

 grale de première classe , pour être générale et sous forme finie , doit 

 contenir un nombre de fonctions arbitraires distinctes égal à celui qui 

 marque l'ordre de l'équation aux différences partielles a laquelle elle 

 correspond. On a déjà remarqué qu'au-delà du premier ordre il existe 

 des équations dont les intégrales générales renferment un moindre 

 nombre de fonctions arbitraires; il faut donc, en vertu de ce nouveau 

 théorème, que ces intégrales n'appartiennent pas à la première classe, 

 et en effet celles qu'on a trouvées jusqu'ici sont exprimées en séries 

 ou sous forme d'intégrales définies (i). 



(i) Journal de l'Ecole Polyteglinicjue , treizième cahier, page 109, et (juinzièune 

 «ahier , page 24a. 



