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Mémoire sur l'expression analytique de l'élasticllc et de la raideur 

 des courues à double courbure ; par M. J. Binet. 



1814. 



Institut. 

 82 août i8i4. 



Quand une cause quelconque détermine un changement de forme Mathématiques 

 tians une ligne matérielle à double courbure , en la concevant par- 

 tagée dans sa longueur en élémens infiniment petits , ce changement 

 peut être rapporté pour chacun de ses points à trois espèces distinctes 

 de variations 3 i." à une extension ou contraction de l'élément de la 

 courbe dans le sens de sa longueur; 2.° à une augmentation ou une 

 diminution de l'angle de contingence formé par cleux élémens infi- 

 niment petits consécutifs, ou à une flexion de la courbe; 3.° à une 

 augmentation ou à une diminution de l'angle de contingence compris 

 par deux plans osculateurs consécutifs répondant au même point, et 

 cela peut êlre nommé une torsion. 



Si la courbe matérielle est élastique, c'est-à-dire, si elle s'oppose 

 aux cbangemens de forme que des forces tendent à lui imprimer, 

 on pourra toujours considérer cette résistance en chaque point, comme 

 provenant de trois espèces de forces s'opposant aux trois sortes de 

 variations dont nous venons de parler. I,a force contraire à l'extension 

 ou à la contraction longitudinale des élémens de la courbe s'appelle 

 la tension; celle qui résiste à l'ouverture ou à la diminution de l'angle 

 de contingence est nommée communément l'élasticité de l'angle de 

 la courbe, ou plus simplement l'élasticité de la courbe,*^ parce que 

 c'est la seule avec la tension que l'on ait considérées jusqu'à présent. 

 La troisième force tend à empêcher l'angle de contingence de deux 

 plans osculateurs consécutifs de changer : cette nouvelle sorte d'élas- 

 ticité s'exerce par le moyen de la torsion de l'élément de la courbe. 

 Ce genre de force se développe principalement dans les courbes à 

 double courbure , et les géomètres paraissent jusqu'à présent avoir 

 entièrement négligé de le considérer; aussi M. Lagrange, en s'occupant 

 du problème que nous traitons ici, est-il parvenu à des équations, 

 exactes sans doute, pour les courbes qui ne seraient douées que 

 des deux premières espèces d'élasticité, ou pour les courbes planes 

 sollicitées par des forces situées dans leur plan , mais qui sont loin 

 de convenir au problème général des courbes à double courbure élas- 

 tique. Qu'on se figure, par exemple, un fil métallique plié en 

 forme d'hélice, comme le sont les ressorts appelés ressorts à boudins. 

 Si une force agit de manière à rapprocher ou à éloigner les deux 

 extrémités de ce ressort, on voit assez que le changement de forme 

 qu'il éprouvera aura lieu sur - tout aux dépens de la torsion du fil 

 métallique. 



