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 reraiîlace ; c'est-à-dire que l'on pourra se donner à volonté deux 

 équations entre les nouvelles variables et les anciennes. Dans cette 

 question, comme dans beaucoup d'autres où l'on fait varier les cons- 

 tantes d'une intégrale, on reconnaît sans peine que pour donnera la 

 transformée la forme la plus simple", il iaut prendre ces deux équations 

 de manière que les deux différences premi' res ne changent pas par la 

 variation des constantes. On trouve, alors, pour cette transformée, 

 une équation linéaire par rapport aux différences secondes, de même 

 forme que la proposée, et qui contient, en général, les trois diffé- 

 rences secondes de la variable principale. C'est à celte espèce de trans- 

 formation que se rapporte celle que M. Legendre a donnée pour in- 

 té!i,rer, ou du moins pour rendre tout-à-fait linéaire l'équation de VaÏTe 

 mïnwiia?!, et d'autres semblables, telle que l'équation qui comprend 

 la propagation du son dans une ligne d'air, lorsque les oscillations 

 du fluide ne sont pas regardées comme infiniment petites. 



Maintenant si l'intégrale particulière d'où l'on part, n'est pas prise 

 au hazard, mais qu'elle provienne d'une intégrale première contenant 

 déjà une constante arbitraire, que l'on a ensuite intégrée avec deux 

 autres constantes, cette cii'constance donne lieu à une réduction de 

 la transformée. En effet on prouve aisément qu'alors, une des trois 

 différences secondes disparaît dans cette équation , ce qui peut déjà 

 la rendre plus facile à traiter. De plus si les cocfKciens des secondes 

 différences dans l'équation proposée, sont les trois termes d'un carré, 

 on prouve aussi que deux termes disparaissent à la fois dans la trans- 

 formée, et qu'elle est réduite à ne plus contenir que la différence se- 

 conde relative à l'une des deux variables indépendantes, ce qui est 

 la foi'me la plus simple à laquelle elle puisse être ramenée. On peut re- 

 marquer à cette occasion, que, d'après la théorie connue (i), une 

 pareille équation ne comporte qu'une seule fonction arbitraire dans son 

 "intégrale complète : il en sera donc de même de toute équation li- 

 néaire par rapport aux différences du second ordre, dans laquelle les 

 çoëffîciens de ces différences ont entre eux la relation des trois ter- 

 mes d'un carré; proposition qu'on pouvait bien supposer, mais que 

 personne avant M. Ampère n'avait complètement démontrée. 



Enfin si l'on est d'abord parvenu à trouver deux intégrales pre- 

 mières de l'équation proposée, renfermant chacune une constante ar- 

 bitraire, et qu'en les employant simultanément, on ait obtenu l'in- 

 tégrale avec trois constantes qui est la base de toute cette analyse ; 

 il arrive alors que l'équation transformée perd deux de ses termes, 



(i) Journal (Je l'Ecole Polyteclinique , treizième cahier, page 107. 



