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 Mémoire sur les intégrales définies ; par M. Cauchy. 



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La considération des intégrales doubles est un moyen que les 

 géomètres ont souvent emploj'é, soit pour trouver les valeurs des 

 intégrales définies, soit pour les comparer enti'e elles. M. Laplace 

 s'en est d'abord servi dans son Mémoire sur les fonctions de grands 

 nombres 5 M. Legendre, dans la première partie de ses Exercices de 

 Calcul intégral 3 et j'ai eu aussi plusieurs fois l'occasion d'en faire usage. 

 C'est sur cette considération qu'est fondée la première partie du Mé- 

 moire de M. Cauchy. Il prend une fonction de y, que je désignerai par 

 Y; il y met, à la place dej', une autre fonction de deux variables x et z; 

 et il observe qu'on a identiquement : 



<ïK) = ''(^H)= 



dz 



d X 



d'où il résulte, en multipliant par dxdz, et prenant ensuite l'intégrale 

 double, 



f- 



''X 



dx 



■P ^'- 



d z. 



Ces intégrales sont indéfinies j mais si l'on suppose que l'intégrale re- 

 lative à X est pi'ise depuis a: = a jusqu'à a: =; a', et l'intégrale relative 

 à z, depuis ^ = Z» jusqu'à z^=h' ; que de plus on fasse 



l'équation précédente deviendra, en passant aux intégrales défininies, 



fj\x, b') dx— Sf{x, b) dx= /F («', z) dz— /F (a, z)dz. (ij 



Elle établit, comme on voit, une relation entre quatre intégrales dé- 

 finies différentes , qui peut servir à leur détermination ; luais M. Cauchy 

 montre, en outre , comment on peut; la partager en plusieurs autres équa-- 

 tions , ce qui donne le moyen d'en tirer un plus grand avantage. D'abord 

 il suppose que la fonction prise pourjy, soit de la forme jk = jn-\-n^ — i ; 

 l'équation (i) contient alors une partie réelle et une partie imaginaire ^ 

 elle se subdivise donc en deux autres, que l'auteur décompose de 

 nouveau, par un moyen que nous ne pouvons pas indiquer ici. Comme 

 on peut prendre pour Y telle fonction de j qu'on veut, et y substituer 

 ensuite, à la place dey, une infinité d'expressions différentes , il semble 

 que l'équation (i) et celles qui s'en déduisent devraient déterminer 



Mathématiques. 



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