quelques Intégrales nouvelles; mais parmi les nombreux exemples 

 que l'auteur a rassemblés dans la première partie de son Mémoire, je 

 n'ai remarqué aucune intégrale qui ne lut pas déjà connue, ce qui 

 tient sans doute à ce que son procédé, quoique très-général et très- 

 uniforme, n'est pas essentiellement distinct de ceux qu'on a employés 

 jusqu'ici. 



Voici un des résultats les plus généraux qu'il obtient. Soit V une 

 fonction de a:; suppossous qu'en y substituant (a + b y/ — i)a: à la 

 place de cette variable, elle devienne P + Qy/ — 13 supposons aussi 

 que les produits P a." et Q a:" soient nuls, pour les valeurs .r =: o et 

 a: = ^ ; en prenant les intégrales entre ces limites, et en faisant , pour 

 abréger, 



r = y a^ + è^j a = r cos. S, b = r sin. fl, 



M. Cauchy trouve qu'on a, en général, 



/* n — I. , COS. n 6 /\t n — 1 , " 



^ X dx z= — - — j Y X d X 



— I , sin. ni i ^T "■ — '^ j 

 a X z=i . S y X a X. 



On obtient immédiatement ces formules par la simple observation 

 qu'en substituant (û + Z^v^ — i)x à la place de x, les limites de l'in- 

 tégrale restent les mêmes; de sorte qu'on a 



dx; 



mettant pour a et h leurs valeurs, et partageant celte équation en deux 

 autres, on trouve les formules citées ; mais par la manière dont 

 M. Cauchy y parvient, on voit que ces formules sont sujettes à des 

 conditions relatives aux valeurs extrêmes dePj,:" v,t Q x", et à quel- 

 ques autres exceptions; ce qui prouve que l'emploi du facteur ima- 

 ginaire a + b\/ — I n'est pas toujours légitime. 



Dans la seconde partie de son Mémoire , M. Cauchy observe que 

 l'équation (i) est quelquefois en défaut, et que cela arrive quand les 

 fonctions compi'ises sous le signe /" deviennent ^ pour des valeurs 

 de jc et de z comprises entre les limites de l'intégration. En effet, ou 

 sait qu'une fonction de deux variables qui se présente sous cette forme 

 est réellement indéterminée; elle est susceptible d'une infinité de va- 

 leurs différentes, et elle en prend deux, qui ne sont pas les mêmes, 

 lorsqu'on y substitue dans deux ordres diflérens les valeurs parti- 

 culières des variables qui la rendent f. Si donc on a une intégrale 



