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JT^ {x,z)d xd z, et que * {x, z) passe par l'indélenniné pour dos valeurs i o 1 4. 



a: = a etz=:é', comprises entre les limites de riotégration, il arrivera 

 que l'élément *(«., e )^:rt/z/ qui leur correspond, aura deux %-aleurs 

 différentes, selon qu'on y fera d'abord x-=.-t. et ensuite z=C, ou selon 

 que l'on commencera par z=:C; donc l'intégrale double, qui est la 

 somme de tous les élémens, n'aura pas non plus la même valeur, 

 selon que l'on commencera l'intégration par rappoit à l'une ou à 

 l'autre variable; donc aussi les deux membres de l'équation (i) pourront 

 quelquefois n'être pas égaux, puisqu'ils représentent les résultats d'une 

 intégration double, faite dans deux ordres difféi'ens. 



A cette remarque de M. Cauchy, on doit ajouter qu'au moins l'une 

 des deux valeurs de <> (x,z), correspondantes à xz=zAet zz=.Ç, doit 

 être infinie ; car si elles étaient toutes deux finies, ou pourrait négliger 

 l'élément <i)( a, C) dx dz, sans que l'intégrale j;^* (-^^ z) dx d z en fût 

 altérée; et alors sa valeur serait encore la même, quoiqu'on eût effectué 

 l'intégration dans deux ordres diflérens. 



M. Cauchy, après avoir indiqué les cas oi!x l'équation ( i ) devient 

 fautive, détermine la quan tité A, qu'ilfaut alors ajouter à l'un de ses deux ~ 



membres pour rétablir l'égalité. Il fait voir qu'elle est exprimée par 

 une ou plusieurs intégrales simples, d'une espèce particulière, et qu'il 

 nomme intégrales singulières. Ce sont des intégrales prises dans uri 

 intervalle infiniment petit, et effectuées sur une fonction contenant 

 elle-même une quantité infiniment petite, qu'on ne doit supprimer 

 qu'après l'intégration. Ces intégrales ne se présentent pas ici pour la 

 première fois; on en rencontre une semblable dans le problême d'un 

 corps pesant sur une courbe donnée, lorsque le mobiJe appi-ocbe d'un 

 point où la tangente est horizontale: s'il en est à une distance infini- 

 ment petite, et que sa vitesse soit nulle, le temps qu'il emploie pour 

 l'atteindre tout-à-iait, a une valeur finie qui est déterminée par une 

 intégrale de fespèce dont nous parlons. Le propre de ces intégrales 

 est d'être indépendantes de la forme de la fonction soumise à l'inté- 

 gration; ainsi, dans l'exemple que nous citons, la valeur du temps ne 

 dépend pas de l'équation de la courbe, mais seulement de la longueur 

 du rayon de courbure au point que l'on considère ; et c'est une cir- 

 constance semblable qui permet ta M. Cauchy de donner sous une 

 forme très-simple la valeur générale de la quantité A. 



Ce que le Mémoire dont nous rendons compte contient, selon nous, 

 de plus curieux, c'est l'usage que l'autenr fait des intégrales qu'il 

 nomme singulières, pour exprimer d'autres intégrales prises entre des 

 limites finies. 11 parvient ainsi à plusieurs résultats déj^. connus. Cette 

 manière indirecte de les obtenir ne doit pas être préférée aux mé- 

 thodes ordinaires , mais elle n'en est pas moins très-remarquable , et 

 digne de i'atteutioii des géomètres. 71 obtient par ce moyen les valeurs 



