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or l'analogie de cette formule avec celle qui sert à changer les variables l o l 5. 



dans les intégrales doubles , est manifeste, de sorte que si l'on veut subs- 

 tituer les variables p et q aux variables x et y , on aura 



JfU (ri — 52) dx dj =ffU dp dq; 

 d'où M. Rodrigue conclut que l'intégrale proposée est une fonction de 

 p eia, indépendante de l'équation delà surface^ et dépendante unique- 

 inent des limites de l'intégration. Il vérifie ce résultat en montrant que 

 la variation de cette intégrale ne renferme que des termes relatifs à ces 

 limites ; il montré aussi qu'il existe dans tous les ordres de différences 

 pariielles, des formules qui jouissent d'une sremblable propriété. 

 Il considère ensuite spécialement l'intégrale 



^{rt — ■ S-) dx dy 



/ 



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dans laquelle la quantité sous le signe ^'^, représente l'élément de la 

 surface divisé par le produit des deux rayons de courbure principaux. 

 D'après ce qu'on vient de dire, elle est la même chose que 



■"'" d p d q 



û\ 



(i + ^» + g=)v 



Si l'on y change les variables p et q , eu d'autres Xet F'j fonctions des 

 premières , elle deviendra 



et si l'on pi'end 



— X —Y 



on aura enfin 



dx dr 



j^ \/~ï — x^— r' ■ 

 formule qui représente l'aire d'une portion de sphère dont le l'ayon est 

 égal à l'unité. 



Pour déterminer cette portion de sphère qui répond à une portion 

 donnée de la surface que l'on considère, M. Rodrigue donne cette cons- 

 truction : « Concevez une sphère d'unVayon égal à l'unité 3 faites mou- 

 « voir son ra yon , ensorte qu'il soit successivement parallèle à toutes 

 « les normales de la portion de surface que vous considérez 3 l'aire sphé- 

 « rique décrite par l'extrémité de ce rayon sera la valeur de l'inté- 

 « grale. » 



S'il s'agit d'une portion quelconque de surface développable , le rayon 

 mobile ne décrira qu'une simple courbe, et l'intégrale sera nulle j ce qui 

 est d'ailleurs évident, puisqu'on a alors ?'/ — s^=:=o. Dans le cas d'une 

 surface fermée et convexe dans toute son étendue, telle cju'uu ellipsoïde, 

 ou aura 



[r t — s') d ce dy 



( » + /^' + 9' ) = 



li; 



