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 et que l'on prenne la nouvelle intégrale entre les limites .t' = — oo 

 x' = + oo . j'' = — oo,j' = + co. D'ailleurs entre ces mêmes limites 

 on a évidemment 



~— dx' dj' =■ o. 



/ 



^' 



L'équation (lo) se réduira donc à 



r o^ ., _ E ff'd x' dy' r a,-' =: — 00, a.-' = + co. 



-^ ~ "^o^^ JJ p' Ly= — oo,y =+ 00. 



Soit maintenant j' = x' t : on aura entre les limites o et oo de toutes 

 les variables 



n dx' dy _ /?' x' dx' dt ^ 



/> dt ^ 



=■ COS. s / ===— - — -— — r===— — , — — COS.2 9. 



En quadruplant cette valeur , on obtiendra celle de l'intégrale 

 // ■—- prise entre les limites — oc et + oo des deux variables; et 



p' 



par suite la formule (12) deviendra 



(i5) A' = — a-TTEcos. 9. 



Les calculs précédents supposent la quantité a, ou Z — z,, positive. 

 Si elle eût été négative, on aurait encore trouvé la même valeur de 

 A'j mais avec un signe ditïerent. On aura donc généralement 



(i/f) A' = + 2 7f E cos. 9, 



le sigTie supérieur devant être adopté si Z surpasse ;?,, et le signe 

 inférieur dans le cas contraire. 



De même, si l'on désigne par B' la partie de l'intégrale B qui 

 correspond à des valeurs de x, y , z, très -peu diftérentes de X, 

 y, Z , on trouvera 



(i5) B' = + 27rEcos. 9, 



le signe + devant être adopté si z^ surpasse Z , et le signe — dans le 

 cas contraire. D'ailleurs, les quantités 



Zr — Z et Zj — Z 

 étant toujours nécessairement de signes opposés, il en sera de même 

 des quantités A' et B'. La différence de ces dernières, et par suite 

 celle des quantités A et B, sera donc toujours égale, abstraction 

 faite du signe, à 4 tt E cos. 6j c. q. f. d. 



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