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Ç désignant la fonction arbitraire , e la base des logarithmes népériens^ 

 et l'intégrale définie relative à a étant prise depuis a = — ^ jusqu'à 

 « = + ^. La fonction cp se détermine aisément d'après l'état initial de 

 la barre. En effet, si l'on suppose t==o, il vient 



= <P T.J 



y = <p X. J e dcL -fx. y/ it; 



'7C représentant à l'ordinaire le rapport de la circonférence au diamètre. 

 Soit donc 



la lai des températures à l'origine du temps t} nous aurons 



et par conséquent à un instant quelconque 



J=-p77-ye y(.r + 2 a « v/o ^«• 



La fonction désignée par^'est censée connue pour toute la longueur 

 de la barre; elle n'est assujettie à aucune restriction : elle peut être 

 continue ou discontinue, nulle dans certaines parties, et avoir des 

 valeurs quelconques dans d'autres. Si la barre est d'une longueur in- 

 définie, il n'y a pas d'autre condition à remplir que celle de son état 

 initial : cette dernière valeur de j/- renferme donc alors la solution 

 complète du problême, c'est-à-dire qu'elle fait connaître au bout d'un 

 temps quelconque la température de tel point de la barre qu'où 

 voudra. 



Supposons, par exemple, que la barre n'ait été échauffée primiti- 

 vement que dans une petite portion qui s'étendait depuis :c = o jusqu'à 

 X = J, et que dans toute autre partie, la température initiale était 

 nulle. Alors la fonctionyx sera égale à zéro pour toutes les valeur* 

 de sa variable qui tombent hors de ces limites o et l j si donc on fait 



x + '2aa\/^tz=.3c'y 



ce qui donne 



ou aura 



et z^ ;— :: — » a a. ^z:z — ■— — , 



et comme f x' sera nulle pour toutes les valeurs de x' non comprises 

 entre zéro et 1 , il s'ensuit qu'il suffira de prendre l'intégrale relative 

 à x' depuis jc' = o j.usqu'à x' = L Si l'on cousidère un point de la 



