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/,/,,/,, ç\.c.f',f", etc., indiquant des fonctions dont chacune est 

 supposée nulle pour toute valeur de la variable plus grande que + /, 

 abstraction faite du signe. En effet, eu faisant /= o, on a 



j =:/x— /. (2/ — :«:) + /. (4/+^)— /j (6/— :r ) + etc. 



-/' (-X-2/) +/" (x-4/)-/'" (-X-6Z) + etc., 

 et si l'on donne à x une valeur comprise entre x-= — l gï x =+ 1 , cette 

 expression se réduit ay=fx, de manière que y a; exprime, comme 

 plus haut, la loi des températiires initiales dans toute l'étendue de la 

 barre, ou depuis x-= — /jusqu'à 0: = +/. Les autres fonctions restant 

 arbitraires, on en peut disposer pour rendre constamment nulles les 

 valeurs de j qui répondent à a: = — / et à .r = + Z; et pour cela 

 il est évident qu'il faut supposer toutes ces fonctions égales entre elles 

 et à la fonction /.' Dans celte hypothèse, la valeur générale de y 

 pourra s'écrire ainsi : 



Ty~^-'^l ^ [/(x + 4iI + 2aci\/t)—/(-2l—x + 4iI+2aa.^i) 



-\-fix — 4/ — /\il+ laa.y/ i) — y ( — X — il — l\il-\- 2 tza>//)l do.- 



z représentant un nombre entier indéterminé, ou zéro, et 2 indiquant 

 •une somme relative à i qui doit s'étendre depuis z = o jusqu'à i = {. 

 Cette valeur de y ne renferme plus rien d'inconnu , et elle satisfait à 

 toutes les conditions du problême, de sorte qu'elle eu renferme la 

 solution complète. 



La répétition de la fonction arbitraire, ou plutôt le partage de cette 

 fonction en une infinité de portions qui, à l'origine, répondent à diflé- 

 rens intervalles des valeurs de la variable x, est une considération 

 qui pourra être d'une grande utilité dans beaucoup d'autres questions. 

 En y réfléchissant, on verra qu'elle est tout à fait analogue à ce qui 

 se pratique dans le problême des cordes vibrantes, pour remplir la 

 condition delà fixité des points extrêmes, après que les deux fonctions 

 arbitraires ont été déterminées d'après la figure et la vitesse initiales 

 de la corde. Dans la question présente, si les températures des points 

 extrêmes n'étaient pas fixes, mais qu'au contraire la barre émît de la 

 chaleur par ses extrémités, la même considération s'appliquerait en- 

 core, avec cette différence qu'alors les fonctionsyjy"', J", etc.,y,\,j4', 

 etc., ne seraient plus égales: elles seraient liées entre elles par une 

 équation aux différences mêlées qui servirait à les déterminer toutes, 

 au moyen de la première. Les bornes de cet extrait ne me permettent 

 pas de considérer cet autre cas, dont on trouvera l'analyse complète 

 dans mon Mémoire. 



JEn représeutaut par une seule variable x' , la quantité qui entre sous 



