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 à la question présente, je suppose que la valeur initiale de z^ soit 



qu'il s'agit de faire coïncider avec la valeur donnée par l'équation (5)» 

 Or, en comparant celle -ci à l'équation (6), il est évident qu'on les 

 rendra identiques en prenant 



ge da da. 

 b — — aa., C = ~ 7 r-- , 



( ah ^ — a h\ 



m c\e -\- e ) 



et changeant le signe 2 en une intégrale double relative à a et «, et. 

 prise entre les limites qu'on vient d'assigner. De cette manière , la 

 valeur générale de cp, donnée par l'équation (4), prend la forme: 



a{h — z) a{z—h) 

 Ç = —./f 7 — — Lcos. {ax — aa). ./a da da.;: 



oà l'on a supprimé l'exposant infiniment petit a k, par rapport aus 

 exposans a{^h — z) et<z (x — li). 



Cette formule renferme la solution complète du problême, car on en 

 déduit, par de simples diiférentiations par rapportai, z et t, les vitesses 

 horizontale et verticale du fluide en un point quelconque, la pression» 

 que ce point éprouve, et l'ordonnée z de la surface; quantités qui seront 

 toutes exprimées sous- forme finie, par des intégrales définies doubles.. 

 Lorsque l'on considère les deux dimensions horizontales du fluide, 

 on trouve , par une analyse toute semblable à celle que je viens 

 d'exposer, une valeur de ip' exprimée par une intégrale défînie qua-^ 

 druple. 



Si l'on suppose la profondeur h très- petite , et qu'on néglige ses 

 puissances supérieures à la première, la valeur ci-dessus de c se ré- 

 duira à £=:;§■ /i a, au moyen de quoi les intégrales définies disparaissent' 

 dans l'expression de (p et des quantités qui s'en déduisent. J'ai fait 

 voir en eiïet dans mon Mémoire, et il est facile de vérifier, que la 

 valeur de z devient alors 



Intégrant par rapport à ?, puis diflérentiant par rapport, à .Zj on a en:- 

 niême temps 



. dx d<p V^g 



dt d X 2 \/h 



(f(x + iv'gh)-f(x-iy'êh)y 



Ces valeurs de l'ordonnée z'- et de la vitesse horizontale -j^ ^ 



d: 



d t 



reviennent, pour le cas que nou considérons, à la solution que- 



