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dans laquelle il faudra aussi substituer la valeur de p, et qui sera, en 

 x,y, x: et q, l'équation auxiliaire dont nous venons de parler. 



L'intégrale de cette équation (5) dépend de trois équations dilïé- 

 rentielles ordinaires que nous n'aurons pas besoin d'écrire^ nous 

 représenterons leurs intégrales complètes par 



0'=J\{x,y, z,q), b—f,{x,y,z,q), c^f^{x , y, z, q^; (4) 



a, b, c étant les constantes arbitraires : l'intégrale générale de l'équa- 

 tion (5) sera 



c=n(è, c)j (5) 



n désignant une fonction arbitraire. *^ 



Supposons l'une des équations (4), la première, par exemple, résolue 

 par rapport à qs soit 



q = '\,{x,y, z, a) (6) 



la valeur qu'on en tirej substituons-la dans les deux autres équations, 

 ee qui donne des résultats de cette forme : 



b=^,(x,y, z,a), c = -\^^ (x,y, z,a); 



substituons ensuite c es valeurs de Z» et c dans l'équation (5), nous auroiis 



a=^U(^^,( x,y,z,a), 'ii>,{x,y, z,a)^; (7) 



et nous pouvons dire inainlenant que la valeur la plus générale de ^jr 



3ui satisfasse à l'équation (3), et qui ait , par conséquent, la propriété 

 e rendre iutégrable l'équation (2), est exprimée par l'équation (6), en 

 y considérant a comme une quantité donnée par l'équation (7). 



Cela posé, la valeur de a sera, ou une quantité variable dépendante 

 de la forme qu'on donnera à la fonction II, ou une constante arbi- 

 traire quand on prendra pour cette tonction une semblable constan le. 

 Supposons d'abord que le second cas ait lieu ; concevons qu'on ait 

 intégré l'équation (2 , après y avoir substitué, à la place de p et q ^ 

 leurs valeurs tirées des équations (i) et (6j, et désignons son inté- 

 grale par 



¥ (x,y,z,a)==k, ("8) 



Te étant la constante arbitraire. Si l'on veut présentement avoir l'inté- 

 grale de la même équation l' a;, dans l'hypothèse de a variable, il est 

 évident qu'on peut en. ore supposer qu'elle soit représentée par l'é- 

 quaticm (8 j , pourVu qu'on y regarde k comme une nouvelle variable, 

 et qu'on detenuine convenablement sa valeur, c'est-à-dire, de manière 

 que la différentielle de l'équation (8; reste la même quand a et ^ 

 sont constantes, et lorsq-ne a et k sont devenues variables. Il faudra 

 donc qu'on ait 



^■^A^ , yy Z, a) J7 /^N ■ 



