= ^'; — =^/> 3^ = ^J -T—r. = ^n etC. ., 



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verra sans peine, à tel nombre qu'on voudra cle variables indépen- 1 o 1 0. 



dantes ; mais pour simplifier, nous considérerons seulement les inté- 

 grales doubles. 



Soit l'intégrale y/ y </j: dj, dans laquelle V est une fonction don- 

 née de:c, y, z , et des différences partielles de z, relatives à x etàjy. 

 Pour abréger , nous indiquerons les différences relatives à x par des 

 traits supérieurs, et celles qui se rapportent à/' , par des traits infé- 

 rieurs ; de sorte qu'on ait 



d z ^ dz d'- z ,, d^ z 



~di ~ ^ ^ J}~ ^'^ d^' ~ ^ ' dxdj 



Nous aurons d'abord , en prenant les variations de la manière la plus 

 générale, 



é' /J\ dx dy = fTs^X^dx dj) = fFs^ Ydxdy ■{■ [Ty J" (dx dj), 



„,^ dY ^ , dV . JV „ dY f, , dY 



d'Y 

 + J^r ^ ^' + etc:; 



ce qui montre que la question se réduit à trouver la variation d'une diffé- 

 rence de z, d'un ordre quelconque, et ensuite celle du produit dx dy. 

 Pour y parvenir, remplaçons pour un moment x et ;/ par dei^x 

 nouvelles variables u etv; no'»s aurons 



Or en prenant les variations de ces quantités, et considérant les 

 accroissemens de .r , j, z, comme des fonctions de u et v , on aura, 

 par rapport à z , 



. , \ fd^ '^ y d^ dy\ /'dy dS z I dz^ d^y dy d^z 



^ '^ \_\du Uv dv du)\d^ du ~^ du dv du dv 



dzdSy~\ /dz dy dz d y\ / d y dê'x dx dê'y dy dS'x 



dv du) \du dv dv du) \dv du, 'du dv du ci v 



dx dê'y\ ~] /d X dy d x 



dv du 



^\~\ /dx dy d X d y\'^ 



